Calcula la integral triple de 2x − 4yz sobre la región E donde 2 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2x − 4 y 0 ≤ z ≤ 5x + 5y − 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee el orden de integración en la propia descripción. Cada cota depende solo de las variables que tiene a su izquierda, así que la región ya está preparada para $dz\,dy\,dx$:

   $\int_{2}^{3}\int_{0}^{2x-4}\int_{0}^{5x+5y-3}(2x-4yz)\,dz\,dy\,dx$

2. 2

   Integra primero respecto de $z$. Trata $x$ e $y$ como constantes. Una primitiva es $2xz - 2yz^2$, así que al evaluar entre $0$ y $5x+5y-3$ queda

   $2x(5x+5y-3)-2y(5x+5y-3)^2$

3. 3

   Desarrolla el integrando. Con $(5x+5y-3)^2 = 25x^2+25y^2+9+50xy-30x-30y$, el corchete se convierte en

   $10x^2+70xy-6x-50x^2y-100xy^2+60y^2-50y^3-18y$

4. 4

   Integra respecto de $y$ desde $0$ hasta $a = 2x-4$. Una primitiva es

   $(10x^2-6x)y+35xy^2-25x^2y^2-\tfrac{100x}{3}y^3+20y^3-\tfrac{25}{2}y^4-9y^2$

   Sustituyendo $y=a$ queda un polinomio solo en $x$ (el extremo $y=0$ no aporta nada).

5. 5

   Ten presente una comprobación útil antes de terminar. Como $a = 2x-4$ se anula en $x=2$, todo el integrando se anula en el límite inferior; si tu expresión no lo hace, el álgebra anterior falló en alguna parte.

6. 6

   Integra el polinomio resultante en $x$ desde $2$ hasta $3$. Cada término es una potencia de $x$, así que este último paso es rutinario. Arrastrando la aritmética racional exacta hasta el final se obtiene

   $\iiint_E (2x-4yz)\,dV = -268$

7. 7

   Idea clave. La única dificultad real aquí es la contabilidad: integra en el orden que dictan las desigualdades, sustituye un límite cada vez y desarrolla por completo antes de pasar a la siguiente variable. Mantén todo como fracciones exactas: redondear a medio camino de una integral triple es donde se cuelan la mayoría de los errores de signo y de magnitud.