Evalúa la integral doble de −2x − 2y + 2 sobre la región 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Dibuja la región antes de integrar. Las condiciones $1\le x\le 2$ y $x\le y\le 3$ describen una franja trapezoidal: un corte vertical en la abscisa $x$ va desde la recta $y=x$ hasta la recta $y=3$, así que su longitud es $3-x$, que se reduce de $2$ a $1$ cuando $x$ pasa de $1$ a $2$. Como el límite inferior depende de $x$, en este orden la integración en $y$ debe hacerse primero.

2. 2

   Integra en $y$ manteniendo $x$ fijo.

   $\int_x^3\left(-2x-2y+2\right)dy=\left[-2xy-y^2+2y\right]_{y=x}^{y=3}$

   Arriba, $y=3$ da $-6x-9+6=-6x-3$. Abajo, $y=x$ da $-2x^2-x^2+2x=-3x^2+2x$.

3. 3

   Resta con cuidado. El valor inferior se resta en bloque, así que todos sus signos cambian:

   $(-6x-3)-\left(-3x^2+2x\right)=3x^2-8x-3$

   Aquí es donde ocurre el error habitual: perder el signo menos delante de $-3x^2$ vuelve positivo el resultado final.

4. 4

   Integra la función de una sola variable resultante.

   $\int_1^2\left(3x^2-8x-3\right)dx=\left[x^3-4x^2-3x\right]_1^2=(8-16-6)-(1-4-3)=-14-(-6)=-8$

5. 5

   Explica por qué un resultado negativo es correcto. El integrando $2-2x-2y$ es negativo en casi toda la región: en la franja, $x\ge 1$ y $y\ge 1$, así que $2-2x-2y\le 2-2-2=-2<0$. La integral de una función negativa en todo el dominio tiene que ser negativa, así que $-8$ tiene el signo correcto. Su magnitud también es razonable: la región tiene área $\int_1^2(3-x)dx=\tfrac32$, y el integrando promedia $-8/1.5\approx -5.3$, valor que queda dentro de su rango real, aproximadamente de $-10$ a $-2$.