Si una función tiende a a cuando x tiende a infinito y a −a cuando x tiende a menos infinito, ¿cuántas asíntotas horizontales tiene?

Step-by-step solution

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   Recuerda la definición: cada extremo de la gráfica se juzga por separado. La recta $y=L$ es una asíntota horizontal de $f$ si $f(x)\to L$ cuando $x\to+\infty$ o cuando $x\to-\infty$. Las dos direcciones son condiciones independientes, y por eso una misma función puede tener más de una asíntota horizontal (a diferencia del recuento de asíntotas verticales, que no tiene tope por una razón distinta).

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   Aplícala a cada límite. El límite $a$ en $+\infty$ convierte a $y=a$ en asíntota, y el límite $-a$ en $-\infty$ convierte a $y=-a$ en asíntota. Las dos son legítimas siempre que $a$ sea un número finito: un límite infinito no da asíntota alguna, y apuntaría más bien a un crecimiento no acotado o a una asíntota oblicua.

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   Cuéntalas, tratando aparte el caso $a=0$. Si $a\neq0$, entonces $a$ y $-a$ son dos números distintos, así que hay dos asíntotas horizontales:

   $y=a\qquad\text{y}\qquad y=-a$

   Si $a=0$, entonces $a=-a=0$, las dos rectas coinciden y solo hay una asíntota, $y=0$.

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   Trabaja un ejemplo concreto. Toma

   $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

   Para $|x|$ grande, $\sqrt{x^{2}+1}\approx|x|$, así que $f(x)\approx x/|x|$, que vale $+1$ para $x$ positivo y $-1$ para $x$ negativo. Numéricamente $f(10^{8})=1$ y $f(-10^{8})=-1$ con un margen de $10^{-12}$ ✓, de modo que esta función tiene las dos asíntotas $y=1$ e $y=-1$: es el caso $a=1$.

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   Ten presente el máximo posible. Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales, una por dirección, porque cada uno de los procesos $x\to+\infty$ y $x\to-\infty$ admite un único límite. Ejemplos habituales son $\arctan x$ (con $y=\pm\pi/2$) y $\tanh x$ (con $y=\pm1$), ambos exactamente de la forma $a$, $-a$.