Halla el límite de √(x² + 6x − 2) cuando x tiende a 3.

Step-by-step solution

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   Evalúa el radicando en el punto objetivo. Calcula primero lo que hay dentro, porque toda la cuestión es si la raíz cuadrada está definida y es continua ahí:

   $x^2+6x-2 \Big|_{x=3} = 9 + 18 - 2 = 25$

   Es positivo, así que $\sqrt{\cdot}$ es continua en un entorno del punto y la sustitución es legítima.

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   Mete el límite dentro de la raíz. Para una función exterior continua,

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to 3} g(x)}$

   Esta es la ley de la composición, y es el paso que convierte el problema en una sola línea.

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   Sustituye y simplifica.

   $\sqrt{\lim_{x\to 3}(x^2+6x-2)} = \sqrt{25} = 5$

   Se toma la raíz cuadrada principal, así que la respuesta es $+5$, no $\pm 5$.

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   Observa cuándo fallaría este atajo. Si el radicando hubiera tendido a un valor negativo, el límite bilateral no existiría en los reales; si hubiera tendido a $0$, habría que comprobar que la función está definida a ambos lados. Aquí no ocurre ninguna de las dos cosas: el radicando $x^2+6x-2$ es positivo para todo $x > -3 + \sqrt{11} \approx 0.317$, lo que incluye holgadamente a $x = 3$.

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   Confirma numéricamente. En $x = 2.99$: $\sqrt{8.9401+17.94-2} = \sqrt{24.8801} = 4.98800$. En $x = 3.01$: $\sqrt{9.0601+18.06-2} = \sqrt{25.1201} = 5.01200$. Los dos valores laterales encierran a $5$ y se van acercando a él ✓, y un límite simbólico devuelve exactamente $5$.