Sea C el conjunto de puntos con x² + y² al menos z² y con x² + y² + z² a lo sumo 4. Halla el volumen de C usando coordenadas esféricas.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica las dos superficies. $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ es la esfera de radio $2$, y $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ es un cono doble que pasa por el origen con semiángulo de $45^\circ$. La región es la parte de la bola que queda fuera del cono: la esfera a la que se le ha quitado un cono de helado por arriba y otro por abajo.

2. 2

   Traduce las dos condiciones a coordenadas esféricas. Con $x=\rho\sin\phi\cos\theta$, $y=\rho\sin\phi\sin\theta$, $z=\rho\cos\phi$:

   $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\phi,\qquad z^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\phi,$

   de manera que $x^{2}+y^{2}\ge z^{2}$ se convierte en $\sin^{2}\phi\ge\cos^{2}\phi$, es decir, $\tan^{2}\phi\ge 1$, es decir,

   $\frac{\pi}{4}\le\phi\le\frac{3\pi}{4}.$

   La condición de la esfera es sencillamente $\rho\le 2$. Por eso las coordenadas esféricas son la elección correcta: ambas superficies se convierten en límites de coordenada.

3. 3

   Plantea la integral con el jacobiano correcto. El elemento de volumen es $dV=\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$:

   $V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$

   Todos los límites son constantes, así que la integral triple se factoriza en tres integrales unidimensionales independientes.

4. 4

   Evalúa cada factor.

   $\int_{0}^{2}\rho^{2}d\rho=\frac{8}{3},\qquad \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin\phi\,d\phi=\left[-\cos\phi\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2,\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.$

5. 5

   Multiplica los tres resultados.

   $V=\frac{8}{3}\cdot\sqrt2\cdot 2\pi=\frac{16\sqrt2\,\pi}{3}\approx 23.695.$

6. 6

   Contrástalo con la bola completa. La bola completa de radio $2$ tiene volumen $\tfrac{4}{3}\pi(8)=\tfrac{32\pi}{3}\approx 33.51$, así que la región conserva una fracción $\tfrac{16\sqrt2/3}{32/3}=\tfrac{\sqrt2}{2}\approx 70.7\%$ de ella. Quitar dos conos de $45^\circ$ debe llevarse un mordisco apreciable pero minoritario, de modo que un $70.7\%$ restante es exactamente el orden de magnitud correcto.