Usar extremos izquierdos y extremos derechos con 6 rectángulos para obtener dos aproximaciones del área de la región comprendida entre la gráfica de f(x) = 2x al cuadrado menos x menos 1 y el eje x en el intervalo de 2 a 5.

Step-by-step solution

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   Confirmar que la región es realmente el área bajo la curva. En $[2,5]$ las raíces de $f$ son $x=1$ y $x=-\tfrac12$, ambas a la izquierda del intervalo, y $f(2)=5>0$. Por tanto $f>0$ en todo el intervalo y los rectángulos miden área directamente, sin ningún cambio de signo del que preocuparse.

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   Calcular la anchura de cada rectángulo. Al dividir un intervalo en $n$ partes iguales se obtiene

   $\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{5-2}{6}=\frac12$

   de modo que los puntos de la partición son $2,\ \tfrac52,\ 3,\ \tfrac72,\ 4,\ \tfrac92,\ 5$.

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   Evaluar $f$ una sola vez en cada punto de la partición. Las sumas por la izquierda y por la derecha reutilizan los mismos siete valores, así que calcularlos una vez ahorra la mitad del trabajo:

   $f(2)=5,\quad f\!\left(\tfrac52\right)=9,\quad f(3)=14,\quad f\!\left(\tfrac72\right)=20,\quad f(4)=27,\quad f\!\left(\tfrac92\right)=35,\quad f(5)=44$

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   Formar la suma por la izquierda con los seis primeros valores. La regla de la izquierda usa el valor del borde izquierdo de cada franja, así que descarta $f(5)$:

   $L_6=\tfrac12\,(5+9+14+20+27+35)=\tfrac12(110)=55$

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   Formar la suma por la derecha con los seis últimos valores. La regla de la derecha descarta $f(2)$ e incorpora $f(5)$:

   $R_6=\tfrac12\,(9+14+20+27+35+44)=\tfrac12(149)=74.5$

   Obsérvese que $R_6-L_6=\tfrac12\big(f(5)-f(2)\big)=\tfrac12(39)=19.5$: las dos sumas solo difieren en su primer y su último término.

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   Interpretar los dos números como una horquilla. $f$ es creciente en $[2,5]$, así que cada rectángulo izquierdo queda por debajo de la curva y cada rectángulo derecho la sobrepasa. El área verdadera cumple entonces $55<A<74.5$. Integrando exactamente se obtiene

   $A=\int_2^5\left(2x^2-x-1\right)dx=\frac{129}{2}=64.5$

   que, en efecto, queda entre ambas.