Resuelve la ecuación diferencial dy/dx = 2y − x.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe la ecuación en la forma lineal estándar. Pasa el término en $y$ al miembro izquierdo para que quede $y'+P(x)y=Q(x)$:

   $\frac{dy}{dx}-2y=-x,\qquad P(x)=-2,\quad Q(x)=-x$

2. 2

   Construye el factor integrante.

   $\mu(x)=e^{\int P\,dx}=e^{\int-2\,dx}=e^{-2x}$

   Su función es convertir el miembro izquierdo en una sola derivada, que es lo que reduce la EDO a una integración directa.

3. 3

   Multiplica toda la ecuación y reconoce la derivada de un producto.

   $e^{-2x}\frac{dy}{dx}-2e^{-2x}y=-xe^{-2x}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\left(ye^{-2x}\right)=-xe^{-2x}$

4. 4

   Integra el miembro derecho por partes. Toma $u=x$, $dv=-e^{-2x}dx$, de donde $du=dx$ y $v=\tfrac12 e^{-2x}$:

   $\int -xe^{-2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{-2x}-\int\frac{1}{2}e^{-2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{-2x}+\frac{1}{4}e^{-2x}+C$

5. 5

   Despeja $y$ y verifica. Multiplica toda la igualdad por $e^{2x}$:

   $y=Ce^{2x}+\frac{x}{2}+\frac{1}{4}$

   Comprobación: $y'=2Ce^{2x}+\tfrac12$, mientras que $2y-x=2Ce^{2x}+x+\tfrac12-x=2Ce^{2x}+\tfrac12$ $\checkmark$. Ambas expresiones coinciden para todo $C$, y $\tfrac{x}{2}+\tfrac14$ es la solución particular, mientras que $Ce^{2x}$ es la parte homogénea.