Calcula la integral triple de 1 dz dy dx donde z va de 0.9621 − √(0.9649² − (x − 0.4167)²) a 0.9621 + √(0.9649² − (x − 0.4167)²), y va de 1.7476 − √(1.7476² − x²) a 0.6773, y x va de 0.34356 a 1.3815.

Step-by-step solution

1. 1

   Interpreta la integral como un volumen. El integrando es la constante $1$, así que el valor de la integral triple es sencillamente el volumen de la región descrita por los tres pares de límites. Ese cambio de enfoque resulta útil porque indica que el resultado tiene que salir positivo, y da un orden de magnitud con el que contrastar más adelante.

2. 2

   Resuelve la integral en $z$ aprovechando la simetría de sus límites. Los dos límites están a distancia $R(x)=\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}$ del centro $z=0.9621$, así que la altura de la losa es justo el doble de ese radio:

   $\int_{0.9621-R(x)}^{0.9621+R(x)}1\,dz=2R(x)=2\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}$

   El centro $0.9621$ se cancela y no vuelve a aparecer: solo importa la semianchura.

3. 3

   Resuelve la integral en $y$, que es una simple longitud. En el integrando que queda no aparece ninguna $y$, así que integrar en $y$ equivale a multiplicar por la longitud del intervalo en $y$:

   $L(x)=0.6773-\left(1.7476-\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}\right)=\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}-1.0703$

   Comprueba que $L(x)>0$ en todo el rango de $x$: para que $L(x)>0$ hace falta $x^{2}<1.7476^{2}-1.0703^{2}=1.90856$, es decir, $x<1.38151$, y el límite superior de $x$ es $1.3815$. La región no degenera ni siquiera en el borde.

4. 4

   Redúcelo a una única integral en $x$. Combinando los dos resultados,

   $V=\int_{0.34356}^{1.3815}2\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}\left(\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}-1.0703\right)dx$

   El producto de dos raíces cuadradas distintas no tiene primitiva elemental, de modo que este último paso tiene que ser numérico.

5. 5

   Integra numéricamente y confirma que el valor es estable. La regla del punto medio aplicada a este integrando da $0.73418869$ con $10^{5}$ subintervalos, $0.73418869$ con $10^{6}$ y $0.73418869$ con $10^{7}$; una evaluación independiente con Simpson coincide hasta ocho dígitos. Por tanto

   $V\approx 0.7342$

   La coincidencia entre tres refinamientos y dos reglas distintas es lo que hace fiable este valor; una única evaluación gruesa no lo haría.