Hallar el límite de (1/i) · e^(ix) cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

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   Simplificar primero la constante $\dfrac{1}{i}$. Multiplicando numerador y denominador por $i$ y usando $i^{2}=-1$:

   $\frac{1}{i}=\frac{i}{i^{2}}=\frac{i}{-1}=-i$

   Así que la expresión es $-ie^{ix}$. Quitar la $i$ de un denominador de este modo es el análogo complejo de racionalizar.

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   Desarrollar con la fórmula de Euler. Como $e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

   $-i\left(\cos x+i\sin x\right)=-i\cos x-i^{2}\sin x=\sin x-i\cos x$

   La parte real es $\sin x$ y la parte imaginaria es $-\cos x$.

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   Probar si cada componente tiene límite. Una función de valores complejos converge exactamente cuando convergen su parte real y su parte imaginaria. Aquí $\sin x$ oscila entre $-1$ y $1$ para siempre y $\cos x$ hace lo mismo, así que ninguna de las dos partes tiene límite cuando $x\to\infty$.

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   Notar que el módulo no decae. Como $\left|e^{ix}\right|=1$ y $\left|-i\right|=1$,

   $\left|\frac{1}{i}e^{ix}\right|=1\quad\text{para todo }x$

   El punto nunca se enrosca hacia adentro: recorre la circunferencia unitaria a velocidad constante y vuelve al punto de partida cada $2\pi$.

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   Concluir que el límite no existe. Dos subsucesiones se estabilizan en valores distintos: en $x=2\pi n$ la expresión vale $-i$, mientras que en $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n$ vale $1$. Un límite obligaría a que coincidieran, así que

   $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{i}e^{ix}\ \text{no existe.}$