Determina los valores de a y b para que la función a trozos f sea continua, donde f(x) = x + 7a si x ≤ −2, f(x) = 7ax + b si −2 < x < 1, y f(x) = x − 7b si x ≥ 1.

Step-by-step solution

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   Identifica dónde puede fallar realmente la continuidad. Cada una de las tres ramas es un polinomio, así que es continua donde se aplica. Los problemas solo pueden surgir en los dos puntos de corte $x=-2$ y $x=1$, donde cambia la fórmula. La continuidad en un punto de corte significa que el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función coinciden, lo que aquí se reduce a obligar a las dos fórmulas vecinas a coincidir en ese punto. Dos puntos de corte dan dos ecuaciones, que igualan al número de incógnitas.

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   Escribe la condición de empalme en $x=-2$. La primera rama es la dueña de $x=-2$, así que $f(-2)=-2+7a$. La rama del medio aporta el límite por la derecha:

   $\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=7a(-2)+b=-14a+b$

   Igualándolos:

   $-2+7a=-14a+b\ \Longrightarrow\ 21a-b=2\ \Longrightarrow\ b=21a-2$

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   Escribe la condición de empalme en $x=1$. La rama del medio aporta el límite por la izquierda y la tercera rama es la dueña de $x=1$:

   $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=7a+b,\qquad f(1)=1-7b$

   Igualándolos:

   $7a+b=1-7b\ \Longrightarrow\ 7a+8b=1$

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   Resuelve el sistema de dos ecuaciones por sustitución. Pon $b=21a-2$ en $7a+8b=1$:

   $7a+8(21a-2)=1\ \Longrightarrow\ 7a+168a-16=1\ \Longrightarrow\ 175a=17\ \Longrightarrow\ a=\frac{17}{175}$

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   Sustituye hacia atrás para hallar $b$ y simplifica. Usando $b=21a-2$ con $21\cdot 17=357$:

   $b=\frac{357}{175}-2=\frac{357}{175}-\frac{350}{175}=\frac{7}{175}=\frac{1}{25}$

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   Comprueba los dos empalmes con aritmética exacta. Con $a=\tfrac{17}{175}$ y $b=\tfrac{1}{25}$: en $x=-2$ la rama izquierda da $-2+7a=-\tfrac{33}{25}$ y la del medio da $-14a+b=-\tfrac{33}{25}$; en $x=1$ la del medio da $7a+b=\tfrac{18}{25}$ y la rama derecha da $1-7b=\tfrac{18}{25}$. Las dos parejas coinciden exactamente como fracciones, así que $f$ es continua en todas partes.