Calcula la integral triple de xyz por e elevado a menos (x + y + z), sobre la región 0 ≤ x ≤ k, 0 ≤ y ≤ k − x, 0 ≤ z ≤ k − x − y.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la región como un tetraedro. Los límites anidados son exactamente las condiciones

   $x \ge 0, \quad y \ge 0, \quad z \ge 0, \quad x + y + z \le k$

   es decir, el símplex con vértices en el origen y en $(k,0,0)$, $(0,k,0)$, $(0,0,k)$. Verlo así es lo que permite sacar fuera la exponencial, que solo depende de $x+y+z$, a lo largo de las superficies de nivel.

2. 2

   Aprovecha que la exponencial es constante en cada rebanada. Escribe $u = x + y + z$. Sobre la rebanada donde $x+y+z = u$ el factor $e^{-u}$ es constante, así que la integral se reduce a una única integral en $u$ en cuanto se conoce la «cantidad» de $xyz$ que hay en cada rebanada.

3. 3

   Calcula el peso de xyz sobre el subsímplex. La ley de escalamiento da

   $\int_{x+y+z\le u} xyz\,dV = \frac{u^6}{720}$

   (un integrando homogéneo de grado 3 sobre una región tridimensional escala como $u^{3+3} = u^6$; la constante es $\frac{1}{720} = \frac{1!\,1!\,1!}{6!}$, procedente de la integral de Dirichlet). Derivando respecto de $u$ se obtiene la densidad sobre la rebanada, $\frac{u^5}{120}$.

4. 4

   Redúcela a una integral unidimensional.

   $I = \frac{1}{120}\int_0^k u^5 e^{-u}\,du$

   Esta es una integral gamma incompleta, y la integración por partes repetida (o la primitiva estándar) da

   $\int u^5 e^{-u}\,du = -e^{-u}\left(u^5 + 5u^4 + 20u^3 + 60u^2 + 120u + 120\right)$

5. 5

   Evalúa entre 0 y k.

   $\int_0^k u^5 e^{-u}\,du = 120 - e^{-k}\left(k^5 + 5k^4 + 20k^3 + 60k^2 + 120k + 120\right)$

   Dividiendo entre $120$:

   $I = 1 - e^{-k}\left(1 + k + \frac{k^2}{2} + \frac{k^3}{6} + \frac{k^4}{24} + \frac{k^5}{120}\right)$

   El paréntesis contiene los seis primeros términos de la serie de Maclaurin de $e^{k}$: se trata de la función gamma incompleta regularizada $P(6, k)$, equivalentemente la probabilidad de que una variable de Poisson de media $k$ valga al menos $6$.

6. 6

   Comprueba numéricamente y en los extremos. Cuando $k \to \infty$, $I \to 1$; cuando $k \to 0$, $I \to 0$. La cuadratura anidada directa sobre el tetraedro da $0.0005941848$ en $k = 1$, $0.0420210382$ en $k = 2.5$ y $0.3840393452$ en $k = 5$, coincidiendo con la forma cerrada hasta diez decimales en cada caso.