Resuelve la ecuación diferencial y doble prima más 2y prima más y igual a e elevado a 3x.

Step-by-step solution

1. 1

   Divide la tarea en dos. Para una ecuación lineal con coeficientes constantes la solución general es $y=y_h+y_p$: la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular cualquiera de la ecuación completa. Cada mitad se obtiene con una técnica distinta.

2. 2

   Resuelve la parte homogénea. Plantea $y''+2y'+y=0$ y sustituye $y=e^{rx}$:

   $r^2+2r+1=(r+1)^2=0\quad\Rightarrow\quad r=-1\ \text{(dos veces)}$

   Una raíz repetida aporta una sola exponencial, así que la segunda solución independiente es esa exponencial multiplicada por $x$:

   $y_h=(C_1+C_2x)e^{-x}$

3. 3

   Elige la función de prueba adecuada. El miembro derecho es $e^{3x}$. Como $3$ no es raíz de $r^2+2r+1$, no hay resonancia y basta con la propuesta simple $y_p=Ae^{3x}$. (Si el miembro derecho hubiera sido $e^{-x}$, coincidiendo con la raíz repetida, la prueba habría necesitado un factor $x^2$.)

4. 4

   Sustituye y despeja $A$. Con $y_p'=3Ae^{3x}$ y $y_p''=9Ae^{3x}$,

   $(9A+6A+A)e^{3x}=e^{3x}\quad\Rightarrow\quad 16A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{16}$

   El $16$ no es casualidad: es el polinomio característico evaluado en el exponente, $p(3)=3^2+2(3)+1=16$.

5. 5

   Arma la solución general.

   $y=(C_1+C_2x)e^{-x}+\frac{1}{16}e^{3x}$

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   Verifica las dos piezas. Para $y_p=\frac{1}{16}e^{3x}$: $\frac{9}{16}+\frac{6}{16}+\frac{1}{16}=\frac{16}{16}=1$, así que reproduce $e^{3x}$ ✓. Para $y_h=xe^{-x}$: $y_h'=(1-x)e^{-x}$, $y_h''=(x-2)e^{-x}$, y $(x-2)+2(1-x)+x=0$, de modo que resuelve la ecuación homogénea ✓.