Calcula la integral triple de 2x − 2yz sobre la región E donde 2 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2x − 2 y 0 ≤ z ≤ −2x + 4y − 4. Da una respuesta exacta.

Step-by-step solution

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   Integra en z con x e y fijos. Escribiendo $Z=-2x+4y-4$ para el límite superior, $\int_0^{Z}(2x-2yz)\,dz=2xZ-yZ^2$. Aquí solo se mueve $z$, de modo que $2x$ se integra a $2xZ$ y $-2yz$ se integra a $-yZ^2$.

2. 2

   Sustituye el límite y desarrolla. Con $Z=4y-2x-4$ el resultado interior se desarrolla como $-16y^3+16xy^2+32y^2-4x^2y-8xy-16y-4x^2-8x$. Desarrollar del todo ahora es más seguro que intentar arrastrar $Z$ empaquetado a través de la siguiente integración.

3. 3

   Integra en y desde 0 hasta 2x - 2. Antiderivando término a término y sustituyendo $y=2x-2$ se obtiene el integrando exterior $-\frac{88}{3}x^4+\frac{616}{3}x^3-528x^2+\frac{1600}{3}x-\frac{544}{3}$, que se factoriza como $-\frac{8}{3}(x-1)\left(11x^3-66x^2+132x-68\right)$.

4. 4

   Antideriva en x. $\int\left(-\frac{88}{3}x^4+\frac{616}{3}x^3-528x^2+\frac{1600}{3}x-\frac{544}{3}\right)dx=-\frac{88}{15}x^5+\frac{154}{3}x^4-176x^3+\frac{800}{3}x^2-\frac{544}{3}x$.

5. 5

   Evalúa desde x = 2 hasta x = 3. La primitiva da $-\frac{466}{5}$, es decir $-93.2$. Observa que la respuesta es negativa porque el término $-2yz$ domina en la mayor parte de la cuña.

6. 6

   Comprobación numérica. Una cuadratura adaptativa anidada sobre los mismos límites devuelve $-93.200000$, que coincide con $-\frac{466}{5}=-93.2$ hasta la sexta cifra decimal.

7. 7

   Cuida la aritmética del paso en y. Una solución muy difundida de este problema reporta $-\frac{4868}{45}\approx -108.2$; ese valor no supera la comprobación numérica, y el error entra al evaluar en $y=2x-2$ la antiderivada ya desarrollada en $y$.