Usar la aproximación lineal local de f(x) = la raíz cúbica de (64 + x) en x = 0 para aproximar la raíz cúbica de 62.5, y comparar la estimación con el valor exacto.

Step-by-step solution

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   Conviene entender por qué la función se escribe como $\sqrt[3]{64+x}$ y no como $\sqrt[3]{x}$. La aproximación lineal solo es precisa cerca del punto base, y solo es útil cuando ese punto base es un lugar donde se puede evaluar de forma exacta. Aquí $64$ es un cubo perfecto y $62.5$ está cerca de él, así que desplazar la variable coloca el punto base en $x_0=0$ con $f(0)=\sqrt[3]{64}=4$ conocido exactamente.

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   Se deriva y se evalúa la derivada en el punto base. Escribiendo $f(x)=(64+x)^{1/3}$,

   $f'(x)=\frac13(64+x)^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(64+x)^2}}$

   $f'(0)=\frac{1}{3\cdot 64^{2/3}}=\frac{1}{3\cdot 16}=\frac{1}{48}$

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   Se escribe la linealización. La recta tangente en $x_0=0$ es

   $L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=4+\frac{x}{48}$

   Esto dice que un cambio pequeño $x$ en el radicando modifica la raíz cúbica en aproximadamente $x/48$. El factor $1/48$ es todo el contenido de la aproximación.

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   Se elige el valor de entrada que produce el número pedido. Se necesita $64+x=62.5$, así que

   $x=-1.5$

   $\sqrt[3]{62.5}\approx L(-1.5)=4+\frac{-1.5}{48}=4-0.03125=3.96875=\frac{127}{32}$

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   Se compara con el valor exacto.

   $\sqrt[3]{62.5}=3.968503\ldots$

   $\text{error absoluto}=3.96875-3.968503=0.000247,\qquad\text{error relativo}\approx 0.0062\%$

   Coincidencia en las cuatro primeras cifras a partir de una única evaluación de la derivada.

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   Se explica la dirección del error, que no es casual. Derivando otra vez,

   $f''(x)=-\frac{2}{9}(64+x)^{-5/3}<0$

   así que $f$ es cóncava hacia abajo cerca de $x=0$ y su gráfica queda por debajo de cualquier recta tangente. Por tanto la estimación lineal tiene que ser una sobreestimación, y en efecto $3.96875>3.968503$. El mismo razonamiento predice que el error crece como $\tfrac12|f''(0)|x^2$, unos $0.00024$ para $x=-1.5$, lo que coincide casi exactamente con el error observado.