Halla la integral de 1/x respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Ver por qué falla aquí la regla de la potencia. La regla $\int x^{p}dx=\dfrac{x^{p+1}}{p+1}$ se rompe en $p=-1$, porque el denominador $p+1$ se anula. Así que $\int x^{-1}dx$ es la única excepción de toda la familia y necesita su propia respuesta.

2. 2

   Partir de la derivada del logaritmo. Para $x>0$, $\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}$, así que $\ln x$ es una primitiva — solo en el semieje positivo, ya que $\ln x$ no está definido para $x\le 0$.

3. 3

   Tratar los $x$ negativos, donde el integrando sigue estando bien. $\dfrac1x$ está perfectamente definido para $x<0$, así que también ahí debe tener una primitiva. Para $x<0$ escribe $|x|=-x$ y deriva con la regla de la cadena:

   $\frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}$

   Sale la misma derivada, y por eso el valor absoluto es exactamente el remiendo adecuado.

4. 4

   Combinar ambos casos en una sola fórmula.

   $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\left|x\right|+C\qquad(x\neq 0)$

   Escribir $\ln x+C$ en su lugar restringiría en silencio la respuesta a $x>0$ y daría una expresión indefinida para cualquier entrada negativa.

5. 5

   Anotar una sutileza sobre la constante. Como el dominio $x\neq 0$ se parte en dos piezas inconexas, la constante puede en realidad ser distinta a cada lado: la primitiva del todo general es $\ln|x|+C_{1}$ para $x>0$ y $\ln|x|+C_{2}$ para $x<0$. Para las integrales definidas esto importa — una integral que cruza el $0$, como $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$, es impropia y divergente, no $\ln 1-\ln 1=0$.