Calcula la integral triple de x + 2y + 3z sobre el tetraedro limitado por x + y + z = 1 en el primer octante.

Step-by-step solution

1. 1

   Describe la región. El plano $x+y+z=1$ junto con $x,y,z\ge0$ delimita el tetraedro unidad de vértices en el origen y en $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$. Al rebanarlo se obtienen los límites iterados

   $0\le z\le1,\qquad0\le y\le1-z,\qquad0\le x\le1-y-z$

   así que la integral es $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1-z}\!\!\int_{0}^{1-y-z}(x+2y+3z)\,dx\,dy\,dz$.

2. 2

   Separa por linealidad en vez de integrar la suma.

   $\iiint_{E}(x+2y+3z)\,dV=\iiint_{E}x\,dV+2\iiint_{E}y\,dV+3\iiint_{E}z\,dV$

   Cada pieza es ahora un momento de una sola variable, y están relacionadas por simetría.

3. 3

   Aprovecha la simetría de la región. El tetraedro es completamente simétrico al permutar $x$, $y$ y $z$: intercambiar dos coordenadas cualesquiera lo transforma en sí mismo. Por lo tanto

   $\iiint_{E}x\,dV=\iiint_{E}y\,dV=\iiint_{E}z\,dV$

   de modo que solo hay que calcular una de las tres integrales.

4. 4

   Calcula el valor común. Integrar $x$ primero sobre $0\le x\le1-y-z$ da $\tfrac{(1-y-z)^{2}}{2}$, y al integrar eso sobre el triángulo $y+z\le1$ resulta

   $\iiint_{E}x\,dV=\frac{1}{24}$

   (Una comprobación numérica sobre una malla de $240\times240$ da $0.0416659$ frente a $\tfrac1{24}=0.0416667$ ✓.) Como verificación cruzada, la suma de las tres vale $\displaystyle\iiint_{E}(x+y+z)\,dV=\tfrac{3}{24}=\tfrac18$, coherente con el volumen $\tfrac16$ del tetraedro y con una suma media de coordenadas de $\tfrac34$.

5. 5

   Arma el total ponderado.

   $\frac{1}{24}+2\cdot\frac{1}{24}+3\cdot\frac{1}{24}=\frac{1+2+3}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

   La respuesta es $\tfrac14$. Fíjate en que los pesos $1,2,3$ intervienen solo a través de su suma: consecuencia directa de la simetría, y buena razón para buscarla antes de machacar tres integrales iteradas por separado.