Calcula la integral triple de xz sobre la región −1 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ y.

Step-by-step solution

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   Lee el orden de anidamiento directamente en los límites. Las cotas ya están apiladas correctamente para $dz\,dy\,dx$: los límites internos (de $0$ a $y$) pueden contener $y$ y $x$, los intermedios (de $x^2$ a $1$) pueden contener $x$, y los externos deben ser constantes. No hace falta reordenar nada.

2. 2

   Integra en z. Aquí $x$ es una constante:

   $\int_0^y xz\,dz = x\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^y = \frac{xy^2}{2}$

3. 3

   Integra en y desde x² hasta 1. Ahora la constante es $x/2$:

   $\int_{x^2}^{1} \frac{xy^2}{2}\,dy = \frac{x}{2}\left[\frac{y^3}{3}\right]_{x^2}^{1} = \frac{x}{6}\left(1 - x^6\right)$

   Observa que $(x^2)^3 = x^6$, no $x^5$: al elevar una potencia a otra potencia los exponentes se multiplican.

4. 4

   Fíjate en la paridad del integrando que queda antes de integrar.

   $\frac{x(1 - x^6)}{6} = \frac{x - x^7}{6}$

   Tanto $x$ como $x^7$ son funciones impares, de modo que todo el integrando es impar: $f(-x) = -f(x)$.

5. 5

   Aprovecha la simetría del intervalo. El intervalo exterior $[-1, 1]$ es simétrico respecto de $0$, y la integral de cualquier función impar sobre un intervalo así es cero:

   $\frac{1}{6}\int_{-1}^{1}(x - x^7)\,dx = 0$

   La razón geométrica se ve en el planteamiento: la región sólida no cambia bajo $x \mapsto -x$ (las cotas $x^2 \le y \le 1$ y $0 \le z \le y$ quedan iguales), mientras que el integrando $xz$ cambia de signo, así que las contribuciones se cancelan por pares.

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   Verifica. La evaluación directa término a término da $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$ y $\int_{-1}^{1} x^7\,dx = 0$. La cuadratura triple numérica devuelve $-5 \times 10^{-20}$, es decir, cero con precisión de máquina. Detectar la simetría ya en la etapa exterior ahorra todo el cálculo, pero solo después de comprobar que la región es realmente simétrica.