Evalúa la integral doble de (x/8)(x² + xy) sobre la región 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla el integrando antes de hacer cualquier otra cosa. Un producto como $\frac{x}{8}(x^2 + xy)$ es más fácil de integrar una vez que es una suma de monomios:

   $\frac{x}{8}(x^2 + xy) = \frac{x^3}{8} + \frac{x^2 y}{8}$

   Ahora cada término es una potencia simple de $x$ por una potencia simple de $y$, así que las dos integraciones son elementales.

2. 2

   Integra en y manteniendo x constante. El factor $x^3/8$ es constante en $y$, mientras que $x^2y/8$ necesita la regla de la potencia en $y$:

   $\int_0^2 \left(\frac{x^3}{8} + \frac{x^2 y}{8}\right) dy = \left[\frac{x^3 y}{8} + \frac{x^2 y^2}{16}\right]_0^2$

3. 3

   Sustituye los límites en y. En $y = 2$ (el extremo $y = 0$ no aporta nada):

   $\frac{2x^3}{8} + \frac{4x^2}{16} = \frac{x^3}{4} + \frac{x^2}{4}$

   Observa que el término en $y^2$ produce $4$, no $2$: elevar al cuadrado el límite superior es donde suele colarse un error aritmético.

4. 4

   Integra el resultado en x. Saca el factor común $\tfrac14$:

   $\frac{1}{4}\int_0^2 (x^3 + x^2)\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{1}{4}\left(4 + \frac{8}{3}\right)$

5. 5

   Termina la aritmética y comprueba que el tamaño sea razonable.

   $\frac{1}{4} \cdot \frac{20}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$

   La cuadratura sobre el cuadrado coincide en ocho cifras. Como comprobación de plausibilidad, el integrando va de $0$ a $\frac{2}{8}(4 + 4) = 2$ en una región de área $4$, así que un valor de $\tfrac53$ queda holgadamente dentro del rango posible. (El $1/8$ es exactamente la constante que haría de $\frac{x}{8}(x+y)$ una densidad de probabilidad en este cuadrado; este integrando es esa densidad multiplicada por $x$.)