Hallar todos los valores del parámetro a para los que la ecuación coseno de la raíz cuadrada de (a menos x al cuadrado) igual a 1 tiene exactamente 8 raíces.

Step-by-step solution

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   Se traduce la ecuación del coseno en una lista de niveles. $\cos\theta=1$ exactamente cuando $\theta=2\pi k$ con $k$ entero, y aquí $\theta=\sqrt{a-x^2}\ge0$, así que solo son posibles $k=0,1,2,\dots$:

   $\sqrt{a-x^2}=2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x^2=a-4\pi^2k^2$

   La ecuación se ha convertido en una familia de ecuaciones de segundo grado sencillas, una por cada $k$.

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   Se cuenta cuántas raíces aporta cada nivel. Para un $k$ fijo:

   • si $a-4\pi^2k^2>0$ hay dos raíces, $x=\pm\sqrt{a-4\pi^2k^2}$;
   • si $a-4\pi^2k^2=0$ hay exactamente una raíz, $x=0$;
   • si $a-4\pi^2k^2<0$ no hay ninguna.

   Valores distintos de $k$ dan valores distintos de $|x|$, así que ninguna raíz se cuenta dos veces.

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   Se descartan de entrada los casos frontera. Si $a=4\pi^2m^2$ para algún entero $m$, el total es $2m+1$, un número impar. Como $8$ es par, ningún $a$ de ese tipo sirve, y todos los niveles deben superarse de forma estricta.

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   Se exige que haya exactamente cuatro valores de $k$ utilizables. Sin igualdades, el recuento es $2\times(\text{número de }k\text{ con }4\pi^2k^2<a)$. Igualarlo a $8$ significa que $k=0,1,2,3$ deben cumplir todos la desigualdad estricta mientras que $k=4$ debe fallar:

   $4\pi^2\cdot3^2<a\le 4\pi^2\cdot4^2$

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   Se recorta el extremo cerrado. El extremo derecho $a=64\pi^2$ es uno de los valores frontera excluidos (da $2\cdot4+1=9$ raíces), así que hay que quitarlo, y $a=36\pi^2$ da $2\cdot3+1=7$. La respuesta es el intervalo abierto

   $36\pi^2<a<64\pi^2$

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   Se comprueban los extremos contando. En $a=50\pi^2$ (dentro del intervalo) los niveles $k=0,1,2,3$ se superan todos y $k=4$ no, lo que da $2\cdot4=8$ raíces. En $a=36\pi^2$ el recuento baja a $7$ y en $a=64\pi^2$ sube a $9$, de modo que las desigualdades estrictas en ambos extremos son esenciales.