Deriva y simplifica: y = arcsen(x⁴), también escrita y = sen⁻¹(x⁴).

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce que es una composición y elige el par de reglas adecuado. La función exterior es el arcoseno y la interior es $u=x^{4}$, así que hace falta la derivada del arcoseno junto con la regla de la cadena. Fíjate en que aquí $\sin^{-1}$ significa arcoseno, no $1/\sin$: una fuente real de confusión con esta notación.

2. 2

   Escribe la derivada del arcoseno en forma de regla de la cadena. Si $y=\sin^{-1}(u)$ con $u$ función de $x$, entonces

   $\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$

   Aquí $u=x^{4}$.

3. 3

   Deriva la función interior. Por la regla de la potencia,

   $u'=\frac{d}{dx}\left(x^{4}\right)=4x^{3}$

4. 4

   Sustituye y simplifica el radicando. Poniendo $u=x^{4}$ y $u'=4x^{3}$ en la fórmula,

   $\frac{dy}{dx}=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-\left(x^{4}\right)^{2}}}=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}}$

   La simplificación clave es $\left(x^{4}\right)^{2}=x^{4\cdot 2}=x^{8}$, y no $x^{16}$ ni $x^{6}$.

5. 5

   Anota el dominio y verifica numéricamente. La expresión exige $1-x^{8}>0$, es decir $-1<x<1$, que es el dominio de $\sin^{-1}(x^{4})$ salvo los extremos, donde la derivada se dispara. Una diferencia centrada de $\sin^{-1}(x^{4})$ con $h=10^{-6}$ da $0.10800354$ en $x=0.3$, $1.41334288$ en $x=0.7$ y $-0.50097943$ en $x=-0.5$, que coinciden con $4x^{3}/\sqrt{1-x^{8}}$ hasta ocho decimales en los tres puntos.