Calcula la integral triple de xyz sobre el cubo unitario 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Step-by-step solution

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   Comprueba que la integral se separa. Los seis límites son constantes y el integrando es un producto puro $x \cdot y \cdot z$, donde cada factor depende de una sola variable. Esa es exactamente la condición bajo la cual una integral múltiple se factoriza en un producto de integrales simples: el atajo que se usa al final como comprobación.

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   Integra en z, tratando x e y como constantes.

   $\int_0^1 xyz\,dz = xy\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^1 = \frac{xy}{2}$

   Solo se está integrando $z$, así que $xy$ viaja intacto.

3. 3

   Integra en y.

   $\int_0^1 \frac{xy}{2}\,dy = \frac{x}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1 = \frac{x}{4}$

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   Integra en x.

   $\int_0^1 \frac{x}{4}\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{8}$

5. 5

   Confirma con la forma separada. Como la integral se factoriza,

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 \!\! \int_0^1 xyz\,dV = \left(\int_0^1 x\,dx\right)\left(\int_0^1 y\,dy\right)\left(\int_0^1 z\,dz\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

   Este es además el valor medio de $xyz$ sobre el cubo (el cubo tiene volumen $1$), lo que concuerda con que $x$, $y$, $z$ elegidos de forma independiente y uniforme tienen producto esperado $\tfrac12 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac12$.