Calcula la integral definida de √(x − x⁴) respecto a x, desde x = 0 hasta x = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza dentro del radical. Escribir $x-x^{4}=x\left(1-x^{3}\right)$ separa el integrando en dos potencias independientes:

   $I=\int_{0}^{1}x^{1/2}\left(1-x^{3}\right)^{1/2}dx.$

   En $[0,1]$ los dos factores son no negativos, así que la raíz cuadrada es real en todo el intervalo y la integral es propia. La forma $x^{p}(1-x^{q})^{r}$ es la firma de una integral de función Beta.

2. 2

   Sustituye $u=x^{3}$ para ajustarte a la forma Beta. Entonces $x=u^{1/3}$, $du=3x^{2}dx$, de donde $dx=\tfrac13u^{-2/3}du$, y $x^{1/2}=u^{1/6}$. Los límites no cambian, $0\to0$ y $1\to1$:

   $I=\int_{0}^{1}u^{1/6}(1-u)^{1/2}\cdot\tfrac13u^{-2/3}\,du.$

3. 3

   Combina las potencias de $u$. Sumando los exponentes,

   $\frac16-\frac23=\frac16-\frac46=-\frac12,$

   así que

   $I=\frac13\int_{0}^{1}u^{-1/2}(1-u)^{1/2}\,du.$

   Esta es exactamente la integral Beta $B(a,b)=\int_{0}^{1}u^{a-1}(1-u)^{b-1}du$ con $a-1=-\tfrac12$ y $b-1=\tfrac12$, es decir, $a=\tfrac12$, $b=\tfrac32$.

4. 4

   Evalúa con funciones Gamma. Usando $B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$ junto con $\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi}$, $\Gamma\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ y $\Gamma(2)=1$:

   $I=\frac13\cdot\frac{\sqrt{\pi}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{1}=\frac13\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}.$

5. 5

   Confirma numéricamente. La cuadratura de Simpson compuesta en $[0,1]$ con dos millones de subintervalos da $0.52359878$, frente a $\frac{\pi}{6}=0.52359878$ ✓. La concordancia está algo limitada por la singularidad de raíz cuadrada que tiene la derivada en los dos extremos, y precisamente por eso aquí la vía de la función Beta es preferible a la integración numérica.