Halla la integral indefinida de (1 + tan²y) respecto de y.

Step-by-step solution

1. 1

   No integres término a término. Separar en $\int 1\,dy+\int\tan^{2}y\,dy$ es legítimo pero inútil: el segundo trozo no tiene ninguna primitiva elemental que puedas escribir sin usar antes justamente la identidad que resuelve el problema entero.

2. 2

   Aplica la identidad pitagórica. Partiendo de $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ y dividiendo cada término entre $\cos^2\theta$ se obtiene

   $\tan^{2}y+1=\sec^{2}y.$

   Así que el integrando es simplemente $\sec^{2}y$.

3. 3

   Reconoce la derivada que ya conoces. Como

   $\frac{d}{dy}\tan y=\sec^{2}y,$

   la integral es inmediata:

   $\int\sec^{2}y\,dy=\tan y+C.$

4. 4

   Escribe el resultado con su constante de integración.

   $\int\left(1+\tan^{2}y\right)dy=\tan y+C.$

5. 5

   Verifica derivando de vuelta. Usando la regla del cociente sobre $\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}$:

   $\frac{d}{dy}\tan y=\frac{\cos^{2}y+\sin^{2}y}{\cos^{2}y}=\frac{1}{\cos^{2}y}=\sec^{2}y=1+\tan^{2}y,$

   que es exactamente el integrando original. Observa que la primitiva es válida en cada intervalo donde $\cos y\neq 0$, es decir, entre múltiplos impares consecutivos de $\tfrac{\pi}{2}$.