Para f(x) igual a la suma desde n = 1 hasta infinito de xⁿ⁻¹/n, decide si f es derivable en x = 1 y en x = −1.

Step-by-step solution

1. 1

   Halla el radio de convergencia y una forma cerrada. Los coeficientes son $1/n$, así que el radio es $1$. Para $0<|x|<1$, saca $1/x$ como factor y usa la serie del logaritmo:

   $f(x)=\frac1x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x},$

   con el valor removible $f(0)=1$. Tener una forma cerrada es lo que vuelve respondibles las preguntas en los extremos, ya que allí la serie derivada se comporta mal.

2. 2

   Resuelve $x=1$ comprobando primero la convergencia. En $x=1$ la serie se vuelve $\sum_{n\ge1}\frac1n$, la serie armónica, que diverge. Así que $f(1)$ no existe como número, y la cuestión de la derivabilidad en $x=1$ ni siquiera se plantea. La forma cerrada coincide: $-\ln(1-x)/x\to+\infty$ cuando $x\to1^{-}$.

3. 3

   Determina el valor en $x=-1$. Aquí la serie es $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$, la serie armónica alternada, convergente por el criterio de Leibniz y con suma

   $f(-1)=\ln 2\approx 0.6931472.$

   El teorema de Abel garantiza que esto coincide con $\lim_{x\to-1^{+}}\bigl(-\ln(1-x)/x\bigr)=-\ln 2/(-1)=\ln 2$, así que la forma cerrada se extiende con continuidad hasta $x=-1$.

4. 4

   Deriva la forma cerrada y evalúa en $-1$. A partir de $f(x)=-\ln(1-x)\cdot x^{-1}$,

   $f'(x)=\frac{1}{x(1-x)}+\frac{\ln(1-x)}{x^{2}},$

   de modo que

   $f'(-1)=\frac{1}{(-1)(2)}+\frac{\ln 2}{1}=\ln 2-\frac12.$

   Como $1-x=2>0$ y $x=-1\ne0$, la forma cerrada es analítica real en todo un entorno de $-1$, y por eso esta derivada lateral existe de verdad.

5. 5

   Observa la trampa y comprueba numéricamente. Derivar la serie término a término da $\sum_{n\ge1}\frac{(n-1)x^{n-2}}{n}$, cuyos términos en $x=-1$ tienen magnitud $(n-1)/n\to1$ y por tanto no tienden a $0$: la serie derivada diverge en $x=-1$. Eso no contradice el resultado: solo muestra que la derivación término a término no es válida en el extremo, mientras que la función en sí sigue siendo derivable allí. Numéricamente, $\bigl(f(-1+10^{-10})-f(-1)\bigr)/10^{-10}=0.1931472$ y $\ln 2-\tfrac12=0.1931472$.