Resuelve la ecuación diferencial 2xy(y′)² + 2(x² + y²)y′ + 2xy = 0, despejando primero y′ e integrando después cada ecuación de primer orden resultante.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconocer que la ecuación es algebraica en $y'$, todavía no diferencial. Divide todo entre $2$ y escribe $p=y'$:

   $xy\,p^{2}+(x^{2}+y^{2})\,p+xy=0.$

   Aquí no aparece ninguna derivada de $p$, así que se trata de una ecuación cuadrática común y corriente cuyos "coeficientes" resultan depender de $x$ e $y$. Resolverla convierte una ecuación enredada en dos ecuaciones separables y limpias.

2. 2

   Calcular el discriminante y notar que es un cuadrado perfecto.

   $(x^{2}+y^{2})^{2}-4(xy)(xy)=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}.$

   Por eso el problema se puede resolver en forma cerrada: la raíz cuadrada sale racional, $\sqrt{(x^{2}-y^{2})^{2}}=|x^{2}-y^{2}|$, y cualquiera de los dos signos queda absorbido por el $\pm$ de la fórmula general.

3. 3

   Leer las dos ramas.

   $p=\frac{-(x^{2}+y^{2})\pm(x^{2}-y^{2})}{2xy}.$

   La rama del $+$ da $p=\dfrac{-2y^{2}}{2xy}=-\dfrac{y}{x}$; la rama del $-$ da $p=\dfrac{-2x^{2}}{2xy}=-\dfrac{x}{y}$. Cada una es separable.

4. 4

   Integrar la primera rama $y'=-y/x$. Separando variables,

   $\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\;\Longrightarrow\;\ln|y|=-\ln|x|+c\;\Longrightarrow\;\ln|xy|=c,$

   así que $xy=C_{1}$: una familia de hipérbolas equiláteras.

5. 5

   Integrar la segunda rama $y'=-x/y$. Separando variables,

   $y\,dy=-x\,dx\;\Longrightarrow\;\frac{y^{2}}{2}=-\frac{x^{2}}{2}+c\;\Longrightarrow\;x^{2}+y^{2}=C_{2}:$

   circunferencias centradas en el origen.

6. 6

   Comprobar ambas familias en la ecuación original. Para $xy=C_1$, $y'=-y/x$; sustituyendo, $xy\frac{y^{2}}{x^{2}}-(x^{2}+y^{2})\frac{y}{x}+xy=\frac{y^{3}}{x}-xy-\frac{y^{3}}{x}+xy=0$. Para $x^{2}+y^{2}=C_2$, $y'=-x/y$; sustituyendo, $xy\frac{x^{2}}{y^{2}}-(x^{2}+y^{2})\frac{x}{y}+xy=\frac{x^{3}}{y}-\frac{x^{3}}{y}-xy+xy=0$. Ambas se anulan idénticamente. Geométricamente las dos familias son ortogonales — las pendientes $-y/x$ y $-x/y$ son las dos raíces de la misma cuadrática, y las hipérbolas $xy=C_1$ solo cortan a las circunferencias en ángulo recto donde $|x|=|y|$, que es justo donde el discriminante se anula y las dos ramas se funden.