Halla los valores de a, b y c que hacen continua la función f en x = 1, donde f(x) = (ax² - x - 1)/(x - 1) para x > 1, f(1) = b y f(x) = -x + c para x < 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Enuncia lo que realmente exige la continuidad en un punto. Tres cantidades distintas deben existir y coincidir:

   $\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x)$

   Como las tres ramas traen tres incógnitas, esto da exactamente las tres ecuaciones necesarias. Conviene empezar por la rama que más restringe: la de la derecha.

2. 2

   Obliga a que el límite por la derecha sea finito; esto es lo que determina $a$. Cuando $x\to1^+$ el denominador $x-1\to0$. Si el numerador no tendiera también a $0$, el cociente se dispararía a $\pm\infty$ y ninguna elección de $b$ o $c$ podría salvar la continuidad. Así que hace falta

   $a(1)^2-1-1=0\quad\Longrightarrow\quad a-2=0\quad\Longrightarrow\quad a=2.$

   Por ejemplo, $a=3$ deja un numerador $\to1$ sobre un denominador $\to0^+$, lo que da $+\infty$: no hay arreglo posible.

3. 3

   Cancela el factor común y evalúa el límite. Con $a=2$ el numerador se factoriza porque $x=1$ es raíz:

   $2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$

   $\lim_{x\to1^+}\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}(2x+1)=3$

   Cancelar es legítimo aquí porque el límite solo concierne a $x\neq1$, donde $x-1\neq0$.

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   Iguala el valor en el punto, lo que determina $b$. La continuidad exige que $f(1)$ sea igual a ese límite:

   $b=3.$

5. 5

   Iguala el límite por la izquierda, lo que determina $c$. La rama izquierda es un polinomio, así que su límite es su valor:

   $\lim_{x\to1^-}(-x+c)=-1+c$

   $-1+c=3\quad\Longrightarrow\quad c=4.$

6. 6

   Verifica que las tres cantidades coinciden. Con $a=2$, $b=3$, $c=4$: el límite por la izquierda es $-1+4=3$, el valor es $f(1)=3$ y el límite por la derecha es $2(1)+1=3$. Todos iguales, así que $f$ es continua en $x=1$. Numéricamente, $f(0.999)=3.001$ y $f(1.001)=3.002$, acercándose a $3$ por ambos lados como era de esperar.