Halla la solución general de la ecuación diferencial y″ − a·y′ + b·y = 0, donde a y b son constantes.

Step-by-step solution

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   Deducir la ecuación característica. Al probar con $y = e^{rx}$ se obtiene $y' = re^{rx}$ y $y'' = r^2e^{rx}$, de modo que

   $e^{rx}\left(r^2 - ar + b\right) = 0$

   Como $e^{rx}$ nunca se anula, el exponente debe cumplir

   $r^2 - ar + b = 0$

   Fíjate en el signo: el coeficiente central es $-a$, así que la ecuación característica lleva $-ar$, no $+ar$.

2. 2

   Despejar r e identificar el discriminante.

   $r = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$

   Ahora todo depende del signo de $D = a^2 - 4b$, y por eso la respuesta necesariamente se presenta en tres casos.

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   Caso D > 0: dos raíces reales distintas. Con $r_{1,2} = \tfrac{a \pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$,

   $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$

   Las dos exponenciales son independientes porque $r_1 \ne r_2$.

4. 4

   Caso D = 0: una raíz doble. Entonces $r = \tfrac{a}{2}$, y $e^{rx}$ por sí sola da solo una familia de un parámetro. La segunda solución independiente es $xe^{rx}$:

   $y = \left(C_1 + C_2x\right)e^{ax/2}$

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   Caso D < 0: raíces complejas conjugadas. Escribiendo $r = \tfrac{a}{2} \pm i\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$ y tomando partes real e imaginaria:

   $y = e^{ax/2}\left(C_1\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}x\right) + C_2\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}x\right)\right)$

   La parte real $\tfrac{a}{2}$ controla el crecimiento o el decaimiento; la parte imaginaria fija la frecuencia.

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   Comprobar un caso concreto. Toma $a = 3$, $b = 2$: entonces $D = 9 - 8 = 1 > 0$, las raíces son $r = 2$ y $r = 1$, y $y = C_1e^{2x} + C_2e^{x}$. Sustituyendo $y = e^{2x}$: $4e^{2x} - 3(2e^{2x}) + 2e^{2x} = 0$. Correcto. Toma $a = 0$, $b = 4$: $D = -16 < 0$, lo que da $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$, la conocida solución de $y'' + 4y = 0$.