Resolver mediante la transformada de Laplace el problema de valor inicial y'' - y = 4*delta(t - 2) + t^2 con y(0) = 0 y y'(0) = 2, donde delta es la delta de Dirac.

Step-by-step solution

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   Elegir la transformada de Laplace precisamente por el impulso. El término forzante contiene $\delta(t-2)$, que no es una función integrable por los métodos habituales; ni los coeficientes indeterminados ni la variación de parámetros sirven aquí. La transformada de Laplace convierte el impulso en la exponencial ordinaria $e^{-2s}$, con lo que todo el problema se reduce a álgebra.

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   Transformar ambos miembros incorporando las condiciones iniciales. Con $\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$, $y(0)=0$, $y'(0)=2$, y las transformadas estándar $\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}$ y $\mathcal{L}\{t^2\} = 2/s^3$:

   $s^2Y - 2 - Y = 4e^{-2s} + \frac{2}{s^3}$

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   Despejar $Y(s)$. Sacando $Y$ como factor común en el miembro izquierdo:

   $Y(s) = \frac{2}{s^2-1} + \frac{4e^{-2s}}{s^2-1} + \frac{2}{s^3(s^2-1)}$

   Los tres sumandos se antitransforman por separado: ésa es la ventaja de trabajar en el dominio $s$.

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   Descomponer en fracciones parciales el tercer término, que es el incómodo. Escribiendo $\dfrac{1}{s^3(s^2-1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s^2} + \dfrac{C}{s^3} + \dfrac{Ds+E}{s^2-1}$ e igualando coeficientes se obtiene $A = -1$, $B = 0$, $C = -1$, $D = 1$, $E = 0$, de modo que

   $\frac{2}{s^3(s^2-1)} = -\frac{2}{s} - \frac{2}{s^3} + \frac{2s}{s^2-1}$

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   Antitransformar cada término. Usando $\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2-1)\} = \sinh t$, $\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2-1)\} = \cosh t$, $\mathcal{L}^{-1}\{2/s^3\} = t^2$ y el segundo teorema de traslación $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a)f(t-a)$:

   $y(t) = 2\sinh t + 2\cosh t - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

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   Simplificar y comprobar. Como $2\sinh t + 2\cosh t = 2e^{t}$,

   $y(t) = 2e^{t} - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

   Comprobación: $y(0) = 2 - 0 - 2 = 0$ y $y'(0) = 2 - 0 = 2$, ambos correctos. Para $t<2$ el término de Heaviside está inactivo y $y'' - y = (2e^t - 2) - (2e^t - t^2 - 2) = t^2$, como se pedía. En $t=2$ el impulso hace que $y'$ salte exactamente $4$ mientras $y$ se mantiene continua: la firma física de un impulso de intensidad $4$.