Evalúa la integral doble de x/(x² + y²) sobre la región D limitada por la parábola 2y = x² y la recta y = x.

Step-by-step solution

1. 1

   Halla dónde se cortan las dos curvas. De $2y=x^2$ se obtiene $y=\tfrac{x^2}{2}$. Igualando $\tfrac{x^2}{2}=x$ resulta $x^2-2x=0$, así que $x=0$ o $x=2$; los puntos de intersección son $(0,0)$ y $(2,2)$.

2. 2

   Decide qué curva queda arriba. En $x=1$ la recta da $y=1$ y la parábola $y=\tfrac12$, así que la recta es la frontera superior. La región es $0\le x\le 2,\qquad\frac{x^2}{2}\le y\le x.$

3. 3

   Integra primero en $y$. Tratando $x$ como constante, $\int\frac{x\,dy}{x^2+y^2}=\arctan\frac{y}{x}.$ Elegir $y$ como variable interior es lo que hace que el $x$ del numerador resulte útil.

4. 4

   Sustituye los límites. En $y=x$ el argumento es $1$; en $y=\tfrac{x^2}{2}$ es $\tfrac{x}{2}$. Así que $I=\int_0^2\left(\arctan 1-\arctan\frac{x}{2}\right)dx=\frac{\pi}{2}-\int_0^2\arctan\frac{x}{2}\,dx.$

5. 5

   Evalúa la integral que queda por partes. Con $u=\tfrac{x}{2}$ se convierte en $2\int_0^1\arctan u\,du$, y $\int\arctan u\,du=u\arctan u-\tfrac12\ln(1+u^2)$, lo que da $2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-\ln 2.$

6. 6

   Combina. $I=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\ln 2\right)=\ln 2\approx 0.693147,$ que coincide con la evaluación numérica directa de $\int_0^2\left(\tfrac{\pi}{4}-\arctan\tfrac{x}{2}\right)dx$.