La función f es dos veces derivable y cumple f''(x) = 6x - 12. Si f tiene un punto crítico en x = 1, ¿qué se puede afirmar sobre f en x = 1?

Step-by-step solution

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   Traduce «punto crítico» a una ecuación. Para una función derivable, un punto crítico es un lugar donde la derivada se anula. Aquí no hay que preocuparse por picos ni por tangentes verticales, porque $f$ es dos veces derivable, así que

   $f'(1)=0$

   Ese único dato es todo lo que aporta la frase.

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   Evalúa en ese punto la segunda derivada dada. Te dan $f''$ directamente, así que no hace falta derivar nada:

   $f''(1)=6(1)-12=6-12=-6$

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   Interpreta el signo de $f''(1)$ como concavidad. Una segunda derivada negativa significa que la pendiente está disminuyendo, así que la gráfica se curva hacia abajo cerca de $x=1$. Como $f''(1)=-6<0$, la curva es cóncava hacia abajo en $x=1$.

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   Aplica el criterio de la segunda derivada. El criterio dice que si $f'(c)=0$ y $f''(c)>0$ el punto es un mínimo local, mientras que si $f'(c)=0$ y $f''(c)<0$ es un máximo local; el criterio solo resulta no concluyente cuando $f''(c)=0$. Aquí se cumplen las dos condiciones del segundo caso:

   $f'(1)=0\quad\text{y}\quad f''(1)=-6<0$

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   Enuncia la conclusión y observa qué no queda determinado. $f$ tiene un máximo local en $x=1$. Ten en cuenta que de $f$ misma solo se sabe salvo dos constantes: al integrar dos veces se obtiene $f(x)=x^{3}-6x^{2}+C_1x+C_2$, y la condición $f'(1)=0$ fija $C_1=9$ pero deja $C_2$ libre. Por tanto el valor $f(1)$ es desconocido; lo único que queda forzado es la clasificación del punto.