Derivar y = arctan(e^(−a/2)) respecto de a y simplificar el resultado.

Step-by-step solution

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   Plantear la regla de la cadena con una variable interior explícita. Sea

   $u=e^{-a/2},\qquad y=\tan^{-1}(u).$

   La derivada de la arcotangente es $\frac{d}{du}\tan^{-1}u=\frac{1}{1+u^{2}}$, así que

   $\frac{dy}{da}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{da}.$

2. 2

   Derivar la función interior exponencial. El exponente es lineal en $a$ con pendiente $-\tfrac12$, así que

   $\frac{du}{da}=-\frac12 e^{-a/2}.$

   Ese factor $-\tfrac12$ es todo el contenido de este paso: una exponencial es su propia derivada solo cuando el exponente es exactamente $a$.

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   Elevar al cuadrado la función interior: aquí es donde se simplifican los exponentes. Como $\left(e^{-a/2}\right)^{2}=e^{-a}$,

   $1+u^{2}=1+e^{-a}.$

   Escribir $u^{2}$ como $e^{-a}$ en lugar de dejar $\left(e^{-a/2}\right)^{2}$ es lo que hace posible la simplificación final; que el exponente esté partido por dos y luego se eleve al cuadrado es la razón de que la respuesta salga tan limpia.

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   Reunir todo en la derivada. Al sustituir las dos piezas:

   $\frac{dy}{da}=\frac{-\tfrac12 e^{-a/2}}{1+e^{-a}}=-\frac{e^{-a/2}}{2\left(1+e^{-a}\right)}.$

   El resultado es negativo para todo $a$, lo cual tiene sentido: $e^{-a/2}$ decrece al crecer $a$, y $\tan^{-1}$ es creciente, así que la composición tiene que decrecer.

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   Simplificar eliminando los exponentes negativos y comprobar. Al multiplicar numerador y denominador por $e^{a}$:

   $\frac{dy}{da}=-\frac{e^{a/2}}{2\left(e^{a}+1\right)}.$

   Las dos formas coinciden numéricamente: en $a=0.8$, una diferencia central de $y$ da $-0.23125186$, y cada forma cerrada da $-0.23125186$ ✓. La segunda forma es preferible para $a$ grande, donde $e^{-a}$ se va a cero por debajo de la precisión de la máquina.