Calcular el límite de ln(1 + 2^x) por ln(1 + 2/x) cuando x tiende a infinito positivo.

Step-by-step solution

1. 1

   Identificar la indeterminación. Cuando $x\to+\infty$, el primer factor $\ln(1+2^x)\to+\infty$ mientras que el segundo $\ln\left(1+\tfrac{2}{x}\right)\to\ln 1=0$. El producto es del tipo $\infty\cdot 0$, así que podría converger a cualquier cosa: hay que medir un factor frente al otro.

2. 2

   Sustituir el factor que crece por su parte dominante. Se saca $2^x$ como factor dentro del logaritmo:

   $\ln(1+2^x)=\ln\left[2^x\left(1+2^{-x}\right)\right]=x\ln 2+\ln\left(1+2^{-x}\right)$

   La corrección $\ln(1+2^{-x})\to 0$, así que

   $\frac{\ln(1+2^x)}{x\ln 2}\to 1,\qquad\text{es decir}\qquad \ln(1+2^x)\sim x\ln 2$

   Escribir la identidad exacta en lugar de aludir a ella es lo que hace rigurosa la equivalencia.

3. 3

   Sustituir el factor que se anula por su aproximación lineal. Con $t=\tfrac{2}{x}\to 0$, la equivalencia estándar $\ln(1+t)\sim t$ da

   $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim\frac{2}{x}$

   Esto sale directamente de $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$, la derivada de $\ln(1+t)$ en $t=0$.

4. 4

   Multiplicar las dos equivalencias. La equivalencia asintótica se conserva al multiplicar, así que

   $\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim (x\ln 2)\cdot\frac{2}{x}=2\ln 2$

   La $x$ se cancela exactamente: el logaritmo crece linealmente y el otro factor decae como $1/x$, de modo que el producto se estabiliza en una constante finita.

5. 5

   Concluir y evaluar.

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)=2\ln 2=\ln 4\approx 1.3863}$

6. 6

   Comprobar numéricamente la convergencia. En $x=100$ el producto vale $1.37261$; en $x=1000$, $1.38491$; y en $x=10^4$, $1.386156$, acercándose poco a poco a $2\ln 2=1.386294$. La aproximación es lenta (el error es del orden de $1/x$), que es justo lo que anticipan los términos descartados.