Halla el volumen de la región definida por (x² + y² + z²)² ≤ a³z, donde a > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Traduce la desigualdad a coordenadas esféricas. Con $x^2+y^2+z^2=\rho^2$ y $z=\rho\cos\varphi$, la condición que define el sólido se convierte en

   $\rho^4\le a^3\rho\cos\varphi\;\Longleftrightarrow\;\rho^3\le a^3\cos\varphi\;\Longleftrightarrow\;\rho\le a\left(\cos\varphi\right)^{1/3}$

   Un factor $\rho$ se cancela porque $\rho>0$ fuera del origen. El miembro derecho exige $\cos\varphi\ge 0$, así que el sólido vive por completo en el semiespacio superior $0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2}$, algo esperable, ya que $a^3z\ge 0$ obliga a $z\ge 0$.

2. 2

   Plantea la integral de volumen. El cuerpo es un sólido de revolución alrededor del eje $z$ (no aparece $\theta$), así que

   $V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^{a(\cos\varphi)^{1/3}}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

   El factor $\rho^2\sin\varphi$ es el elemento de volumen esférico; omitirlo es la forma habitual de arruinar esta integral.

3. 3

   Integra radialmente: la raíz cúbica desaparece. Para $\varphi$ fijo,

   $\int_0^{a(\cos\varphi)^{1/3}}\rho^2\,d\rho=\frac{\left[a\left(\cos\varphi\right)^{1/3}\right]^3}{3}=\frac{a^3\cos\varphi}{3}$

   Este es el meollo de todo el problema: elevar el radio al cubo cancela exactamente el exponente $\tfrac13$ y convierte una frontera incómoda en un simple coseno.

4. 4

   Resuelve la integral en el ángulo polar. Lo que queda es una sustitución de manual:

   $\int_0^{\pi/2}\frac{a^3\cos\varphi}{3}\sin\varphi\,d\varphi=\frac{a^3}{3}\left[\frac{\sin^2\varphi}{2}\right]_0^{\pi/2}=\frac{a^3}{3}\cdot\frac12=\frac{a^3}{6}$

5. 5

   Multiplica por el barrido angular y comprueba el escalamiento. La integral en $\theta$ aporta $2\pi$:

   $V=2\pi\cdot\frac{a^3}{6}=\frac{\pi a^3}{3}$

   Dos comprobaciones. Dimensionalmente el resultado debe escalar como $a^3$, y así ocurre: reemplazar $a$ por $ka$ estira el sólido linealmente por un factor $k$. Numéricamente, tomando $a=1$ y estimando ese mismo volumen por muestreo de Monte Carlo de $(\rho^2)^2\le z$ sobre la caja $[-1.2,1.2]^2\times[0,1.2]$ se obtiene alrededor de $1.045$, frente a $\tfrac{\pi}{3}\approx 1.0472$ $\checkmark$.