Calcula el límite de (x² − x − 6)/|x + 2| cuando x tiende a −2, o demuestra que no existe.

Step-by-step solution

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   Comprobar la forma y factorizar el numerador. Al sustituir $x=-2$ queda $\frac{4+2-6}{0}=\frac{0}{0}$, una indeterminación. Factorizando el numerador:

   $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2),$

   la expresión pasa a ser $\dfrac{(x-3)(x+2)}{|x+2|}$. El factor $(x+2)$ aparece arriba y, en valor absoluto, abajo: esa es la señal de que hace falta un análisis lateral.

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   Entender por qué el valor absoluto impide una cancelación única. Para $t\ne0$, $\frac{t}{|t|}$ vale $+1$ si $t>0$ y $-1$ si $t<0$. Aquí $t=x+2$ cambia de signo justo en el punto límite, así que el cociente salta entre $+1$ y $-1$ por muy cerca de $-2$ que se mire. Hay que tratar los dos lados por separado.

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   Calcular el límite por la izquierda. Para $x<-2$ se tiene $x+2<0$, luego $|x+2|=-(x+2)$ y

   $\frac{(x-3)(x+2)}{-(x+2)}=-(x-3)=3-x\ \longrightarrow\ 3-(-2)=5.$

   Por lo tanto $\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}=5$.

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   Calcular el límite por la derecha. Para $x>-2$ se tiene $x+2>0$, luego $|x+2|=x+2$ y

   $\frac{(x-3)(x+2)}{x+2}=x-3\ \longrightarrow\ -2-3=-5.$

   Por lo tanto $\displaystyle\lim_{x\to-2^{+}}=-5$.

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   Concluir y verificar numéricamente. Como $5\ne-5$, los límites laterales no coinciden y el límite bilateral no existe. Numéricamente, en $x=-2.001$ el cociente vale $5.001$ y en $x=-1.999$ vale $-4.999$ ✓: la gráfica tiene un salto de altura $10$ en $x=-2$. Si el denominador hubiera sido $x+2$ en lugar de $|x+2|$, el límite existiría y valdría $-5$.