Halla el límite de (sen 3x − 3 sen x)/x³ cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

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   Confirma la forma indeterminada y decide hasta qué orden desarrollar. En $x=0$ el numerador vale $\sin 0-3\sin 0=0$ y el denominador es $0$, así que se trata de $0/0$. Como el denominador es $x^{3}$, el numerador debe desarrollarse hasta el orden $x^{3}$: detenerse en el primer orden solo mostraría que los términos principales se cancelan, sin revelar el límite.

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   Desarrolla $\sin 3x$ hasta tercer orden. A partir de $\sin u=u-\dfrac{u^{3}}{6}+O(u^{5})$ con $u=3x$,

   $\sin 3x=3x-\frac{27x^{3}}{6}+O(x^{5})=3x-\frac{9}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

   El cubo del $3$ es lo que hace que este término sea nueve veces mayor que el término correspondiente de $\sin x$: esa asimetría es toda la fuente de la respuesta.

3. 3

   Desarrolla $3\sin x$ hasta el mismo orden.

   $3\sin x=3\left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)+O(x^{5})=3x-\frac{1}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

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   Resta. Los términos $3x$ se cancelan exactamente, tal como prometía la forma $0/0$:

   $\sin 3x-3\sin x=\left(-\frac92+\frac12\right)x^{3}+O(x^{5})=-4x^{3}+O(x^{5}).$

5. 5

   Divide y toma el límite.

   $\frac{\sin 3x-3\sin x}{x^{3}}=-4+O(x^{2})\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;-4.$

   Evaluando el cociente directamente en $x=10^{-3}$ se obtiene $-3.999998$, y en $x=10^{-4}$ se obtiene $-3.99999998$, acercándose a $-4$ por arriba al ritmo previsto $O(x^{2})$.