Deriva y = (e^x + 1)/x^3.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe el cociente como un producto. Pasar $x^3$ al numerador con exponente negativo evita el aparatoso denominador de la regla del cociente:

   $y=(e^x+1)\,x^{-3}$

   El dominio excluye $x=0$, donde la función original no está definida.

2. 2

   Prepara la regla del producto. Con $u=e^x+1$ y $v=x^{-3}$,

   $u'=e^x,\qquad v'=-3x^{-4}$

   Fíjate en que $u'=e^x$ y no $e^x+1$: la derivada de la constante $1$ es cero.

3. 3

   Aplica $(uv)'=u'v+uv'$.

   $y'=e^x\cdot x^{-3}+(e^x+1)\left(-3x^{-4}\right)=\frac{e^x}{x^3}-\frac{3(e^x+1)}{x^4}$

4. 4

   Pon los dos términos sobre el común denominador $x^4$. Multiplica el primer término por $\tfrac{x}{x}$:

   $y'=\frac{x e^x}{x^4}-\frac{3(e^x+1)}{x^4}=\frac{x e^x-3e^x-3}{x^4}$

5. 5

   Factoriza la exponencial para obtener la forma más limpia.

   $y'=\frac{e^x(x-3)-3}{x^4}$

   El $-3$ suelto no puede absorberse dentro del factor, porque proviene de derivar la constante $1$ del numerador.

6. 6

   Verifica numéricamente en varios puntos. Comparando con un cociente de diferencias simétrico de paso $10^{-6}$: en $x=0.6$ ambos dan $-56.8911$; en $x=1.7$ ambos dan $-1.21121$; en $x=-2.2$ ambos dan $-0.152661$ ✓, incluido un $x$ negativo, donde la potencia impar $x^3$ importa.