Calcula la integral doble de x y² sobre la región donde x va de 0 a π y y va de 0 a 2 sen x.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige el orden $dy\,dx$. La región está limitada por debajo por $y=0$ y por arriba por la curva $y=2\sin x$, con $x$ recorriendo el intervalo fijo $[0,\pi]$. Esa descripción ya tiene la forma «límites de $x$ constantes, límites de $y$ dados por funciones», así que integrar primero en $y$ no cuesta ningún trabajo extra:

   $\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy\,dx.$

   Invertir el orden nos obligaría a invertir $y=2\sin x$ y a partir la región en $x=\pi/2$: mucho peor.

2. 2

   Haz la integral interior tratando $x$ como constante.

   $\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy=x\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sin x}=\frac{x(2\sin x)^{3}}{3}=\frac{8}{3}x\sin^{3}x.$

   El cubo es lo que vuelve incómoda la integral exterior, así que hay que ocuparse de él a continuación.

3. 3

   Linealiza $\sin^{3}x$ con la identidad del ángulo triple. De $\sin 3x=3\sin x-4\sin^{3}x$ se obtiene $\sin^{3}x=\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4}$. Las potencias del seno no se pueden integrar directamente contra $x$, pero los senos simples sí se manejan por partes, así que:

   $\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin^{3}x\,dx=2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx-\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx.$

4. 4

   Integra cada pieza por partes con $u=x$. Para $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$:

   $\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\big[-x\cos x+\sin x\big]_{0}^{\pi}=\pi.$

   Para $\int x\sin 3x\,dx=-\dfrac{x\cos 3x}{3}+\dfrac{\sin 3x}{9}$:

   $\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx=\left[-\frac{x\cos 3x}{3}+\frac{\sin 3x}{9}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{3},$

   usando $\cos 3\pi=-1$ y $\sin 3\pi=0$.

5. 5

   Combina y comprueba.

   $2(\pi)-\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi-\frac{2\pi}{9}=\frac{16\pi}{9}\approx 5.5851.$

   La integración numérica de $\tfrac{8}{3}x\sin^{3}x$ sobre $[0,\pi]$ devuelve $5.5850536$, que coincide con $\tfrac{16\pi}{9}=5.5850536$. El resultado es positivo, como tiene que ser: $x\ge0$ y $y^{2}\ge0$ en todo $R$.