Halla todos los valores reales de m para los que y = (x + 4)/(x + m) es creciente en el intervalo (−∞, −7).

Step-by-step solution

1. 1

   Deriva con la fórmula de las funciones de Möbius. Para $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ se tiene $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$, y aquí $a=1$, $b=4$, $c=1$, $d=m$:

   $y'=\frac{m-4}{(x+m)^{2}}$

2. 2

   Impón la condición de signo. El denominador al cuadrado es positivo dondequiera que $y$ esté definida, así que ser creciente significa

   $m-4>0\quad\Longleftrightarrow\quad m>4$

3. 3

   Impón la condición sobre el polo. La función tiene una asíntota vertical en $x=-m$. Ser creciente en todo el intervalo $(-\infty,-7)$ exige que esa asíntota quede fuera de él:

   $-m\notin(-\infty,-7)\quad\Longleftrightarrow\quad -m\ge -7\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 7$

   Observa que el extremo sí se admite: en $m=7$ el polo se sitúa exactamente en $x=-7$, que no es punto interior del intervalo abierto $(-\infty,-7)$.

4. 4

   Interseca las dos condiciones.

   $4<m\le 7$

   $\boxed{m\in(4,\,7]}$

5. 5

   Pon a prueba los tres casos frontera. En $m=4$: $y=\tfrac{x+4}{x+4}=1$, una constante, que no es creciente ✗, así que $4$ queda excluido. En $m=7$: $y=\tfrac{x+4}{x+7}$ con $y'=\tfrac{3}{(x+7)^{2}}>0$ en $(-\infty,-7)$ ✓, así que $7$ sí se incluye. En $m=8$: el polo $x=-8$ cae dentro de $(-\infty,-7)$, de modo que la función se rompe ahí y no es creciente en todo el intervalo ✗.

6. 6

   Fíjate en el patrón. Para que $y=\dfrac{x+p}{x+m}$ sea creciente en $(-\infty,-q)$ con $q>p>0$, las mismas dos condiciones dan $p<m\le q$: la respuesta es siempre el intervalo semiabierto $(p,q]$, cerrado por la derecha.