Sea f una función derivable con f(3) = 5 y f′(3) = 2. Si g es la función inversa de f, ¿cuál es el valor de g′(5)?

Step-by-step solution

1. 1

   Parte de la propiedad que define a la inversa, no de una fórmula recordada a medias. Por definición, $g$ deshace lo que hace $f$, así que para todo $x$ del dominio

   $f\bigl(g(x)\bigr)=x.$

   Todo lo demás se sigue de derivar esta identidad.

2. 2

   Deriva los dos miembros respecto de x con la regla de la cadena. El miembro izquierdo es una composición y el derecho tiene derivada $1$:

   $f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=1\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\frac{1}{f'\bigl(g(x)\bigr)}.$

3. 3

   Halla el valor interior g(5) antes de sustituir. Este es el paso que se suele saltar. Como $f(3)=5$, aplicar $g$ en los dos miembros da

   $g(5)=3.$

   Así que la derivada de $f$ hay que leerla en $3$, no en $5$.

4. 4

   Sustituye los dos números conocidos.

   $g'(5)=\frac{1}{f'(g(5))}=\frac{1}{f'(3)}=\frac{1}{2}.$

5. 5

   Interpreta el resultado. Las gráficas de $f$ y de $g$ son reflexiones respecto de la recta $y=x$, y reflejar intercambia el incremento vertical con el horizontal, así que las pendientes pasan a ser recíprocas. Una función que sube con pendiente $2$ en $(3,5)$ tiene una inversa que sube con pendiente $\tfrac12$ en $(5,3)$.