Calcular la integral definida desde x = −2 hasta x = 2 de (x^3 cos(x/2) + 1/2) por la raíz cuadrada de (4 − x^2).

Step-by-step solution

1. 1

   Separar la integral antes de intentar hallar una antiderivada. El factor $x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}$ no tiene antiderivada elemental, así que cualquier intento de sustitución o de integración por partes está condenado al fracaso. Como el intervalo es simétrico respecto de $0$, conviene separar:

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx+\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

2. 2

   Clasificar el primer sumando según su paridad. $x^{3}$ es impar; $\cos\frac{x}{2}$ es par; $\sqrt{4-x^{2}}$ es par. Impar $\times$ par $\times$ par da impar, así que todo el integrando cumple $f(-x)=-f(x)$. En un intervalo simétrico toda función impar integra cero, porque el área con signo en $[-2,0]$ cancela exactamente la de $[0,2]$:

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0.$

   Ese es todo el sentido del ejercicio: el término de aspecto difícil es un señuelo.

3. 3

   Reconocer el segundo sumando como un semicírculo. La curva $y=\sqrt{4-x^{2}}$ equivale a $x^{2}+y^{2}=4$ con $y\ge 0$: la mitad superior de una circunferencia de radio $2$. Así que la integral es un área geométrica, no algo que haya que antiderivar:

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi(2)^{2}=2\pi.$

4. 4

   Recomponer el resultado. Se multiplica el semicírculo por la constante $\tfrac12$ y se suma la parte impar, que se anuló:

   $\int_{-2}^{2}\left(x^{3}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0+\frac{1}{2}(2\pi)=\pi.$

5. 5

   Comprobar numéricamente. La regla de Simpson compuesta en $[-2,2]$ da $3.1415926$ para el integrando completo y $2\times10^{-16}$ para la parte impar sola, lo que confirma tanto el valor exacto $\pi\approx 3.14159$ como el argumento de cancelación.