Da todas las soluciones x(t) de la ecuación diferencial x' = 4t x².

Step-by-step solution

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   Observa que la ecuación es separable. El lado derecho se factoriza como (una función de $t$) por (una función de $x$): $4t\cdot x^2$. Esa es exactamente la condición para separar variables.

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   Separa e integra. Suponiendo $x\ne 0$ para que dividir sea legítimo, $\frac{dx}{x^2}=4t\,dt\ \Longrightarrow\ \int x^{-2}\,dx=\int 4t\,dt\ \Longrightarrow\ -\frac1x=2t^2+C_0.$

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   Despeja $x$. Multiplicando por $-1$ queda $\dfrac1x=-2t^2-C_0$. Escribir $C=-C_0$ absorbe el signo: $x(t)=\frac{1}{C-2t^2},\qquad C\in\mathbb{R}.$ Cada una de estas soluciones vive solo en un intervalo donde $C-2t^2\ne 0$; para $C>0$ la curva se dispara en $t=\pm\sqrt{C/2}$.

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   Recupera la solución que la separación descartó. Dividir entre $x^2$ supuso en silencio que $x\ne 0$. Prueba $x(t)\equiv 0$ directamente: $\dot{x}=0$ y $4tx^2=0$, así que satisface la ecuación. Es una solución genuina y no tiene la forma $1/(C-2t^2)$ para ningún $C$ finito.

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   Verifica la familia. Derivando $x=(C-2t^2)^{-1}$ se obtiene $\dot{x}=-(C-2t^2)^{-2}(-4t)=\dfrac{4t}{(C-2t^2)^2}=4tx^2$, como se requería.

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   Escribe el conjunto completo de soluciones. $x(t)\equiv 0\qquad\text{o}\qquad x(t)=\frac{1}{C-2t^2}\ \ (C\in\mathbb{R}),$ cada una en un intervalo maximal donde el denominador no se anula.