Halla el límite, cuando x tiende a infinito, de la suma desde y = 1 hasta x de y dividido entre 2 elevado a y.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce que esto es una serie infinita, no el límite de una función. Las sumas parciales son crecientes y los términos $y/2^y$ decrecen geométricamente, así que el límite es exactamente el valor de la serie convergente

   $S=\sum_{y=1}^{\infty}\frac{y}{2^y}$

   La convergencia queda garantizada por el criterio del cociente: la razón entre términos consecutivos tiende a $\tfrac12<1$.

2. 2

   Escribe la suma y divídela entre dos.

   $S=\frac12+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots$

   $\frac12 S=\frac14+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\cdots$

   Dividir entre dos desplaza cada término un lugar a la derecha, y eso es justo lo que hace funcionar el paso siguiente.

3. 3

   Resta las dos filas. Alineando por denominador, cada coeficiente baja exactamente en una unidad:

   $S-\frac12 S=\frac12+\frac{2-1}{4}+\frac{3-2}{8}+\frac{4-3}{16}+\cdots=\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$

   La engorrosa serie aritmético-geométrica se ha convertido en una geométrica simple.

4. 4

   Suma la serie geométrica y despeja. Con primer término $\tfrac12$ y razón $\tfrac12$:

   $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=\frac{1/2}{1-1/2}=1$

   de modo que $\tfrac12 S=1$ y por tanto $S=2$.

5. 5

   Contrasta con la forma cerrada y numéricamente. La identidad estándar $\sum_{y\ge1}yr^y=\dfrac{r}{(1-r)^2}$ en $r=\tfrac12$ da $\dfrac{1/2}{1/4}=2$ ✓. Sumar directamente los primeros $199$ términos da $2.0000000000$ con diez decimales ✓.