Calcula la integral triple de x sobre la región sólida donde 0 ≤ z ≤ 3 y x² + y² ≤ z.

Step-by-step solution

1. 1

   Describe el sólido. La desigualdad $x^2 + y^2 \le z$ dice que el punto está dentro del paraboloide $z = x^2 + y^2$, que se abre hacia arriba desde el origen. Recortarlo en $z = 3$ da un sólido con forma de cuenco cuya sección transversal a la altura $z$ es el disco $x^2 + y^2 \le z$, de radio $\sqrt{z}$.

2. 2

   Comprueba la simetría de la región en x. Cambiar $x$ por $-x$ deja intactas ambas condiciones que la definen, ya que solo aparece $x^2$:

   $(-x)^2 + y^2 = x^2 + y^2 \le z$

   Así que $(x, y, z) \in E \iff (-x, y, z) \in E$: el sólido es simétrico respecto del plano $x = 0$. Esta comprobación es imprescindible, porque el atajo falla en una región que no sea simétrica.

3. 3

   Comprueba la paridad del integrando en x. El integrando es $f(x,y,z) = x$, y

   $f(-x, y, z) = -x = -f(x,y,z)$

   de modo que es impar en $x$. Un integrando impar sobre una región simétrica en esa variable integra cero, porque cada punto se empareja con su punto espejo, que aporta el valor opuesto.

4. 4

   Concluye sin calcular.

   $\iiint_E x\,dV = 0$

   Las contribuciones positivas de la mitad $x > 0$ cancelan exactamente las negativas de $x < 0$.

5. 5

   Confirma planteando de todos modos la integral en cilíndricas. Con $x = r\cos\theta$ y $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$:

   $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{3}}\!\!\int_{r^2}^{3} r^2\cos\theta\,dz\,dr\,d\theta$

   La integral en $\theta$ sale como factor $\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0$, así que todo el producto es cero sin importar las partes radial y vertical. La misma respuesta, ahora confirmada algebraicamente. (Por el mismo argumento $\iiint_E y\,dV = 0$ y $\iiint_E xyz\,dV = 0$, mientras que $\iiint_E z\,dV$ sí es genuinamente distinto de cero.)