Calcula los límites: (1) límite cuando x tiende a 3 de √(x² + 6x − 2); (2) límite cuando x tiende a 3 de (x² + 2x − 15)/(x − 3); (3) límite cuando x tiende a 4 de (√x − 2)/(x − 4).

Step-by-step solution

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   Prueba siempre primero la sustitución directa. Si al sustituir el valor objetivo se obtiene un número definido y la función es continua allí, ese número es el límite. Solo cuando la sustitución da una forma indeterminada como $\tfrac00$ hace falta seguir trabajando.

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   (1) La sustitución funciona. El radicando en $x=3$ vale $9+18-2=25>0$, y $\sqrt{\ }$ es continua allí donde su argumento es positivo, de modo que

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{x^{2}+6x-2}=\sqrt{25}=5$

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   (2) La sustitución da 0/0, así que factoriza. En $x=3$ el numerador vale $9+6-15=0$ y el denominador es $0$. Por el teorema del factor, $(x-3)$ divide al numerador:

   $x^{2}+2x-15=(x+5)(x-3)$

   Para $x\neq 3$ el factor común se cancela, y cancelar es legítimo precisamente porque un límite nunca evalúa la función en $x=3$:

   $\lim_{x\to 3}\frac{(x+5)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+5)=8$

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   (3) La sustitución da 0/0 con un radical, así que usa el conjugado. Multiplica numerador y denominador por $\sqrt x+2$:

   $\frac{\sqrt x-2}{x-4}\cdot\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+2}=\frac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt x+2\right)}$

   usando que $\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x+2\right)=x-4$.

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   Cancela y sustituye.

   $\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt x+2}=\frac{1}{2+2}=\frac14$

   $\boxed{5,\qquad 8,\qquad \tfrac14}$

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   Comprueba numéricamente. En $x=3.001$: $\sqrt{x^2+6x-2}=5.0012$ y $\tfrac{x^2+2x-15}{x-3}=8.001$. En $x=4.001$: $\tfrac{\sqrt x-2}{x-4}=0.24998$. Los tres se acercan a los valores indicados. Como comprobación adicional de (3), ese límite es por definición la derivada de $\sqrt x$ en $x=4$, que vale $\tfrac{1}{2\sqrt4}=\tfrac14$ ✓.