Una figura está limitada por las circunferencias x² + y² − 7y = 0 y x² + y² − 9y = 0 y por las rectas y = x/√3 y x = 0. Escribir la integral que da su área en coordenadas polares y calcular el área.

Step-by-step solution

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   Pasar las dos circunferencias a forma polar. Al sustituir $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, la expresión $x^2+y^2$ se convierte en $r^2$, así que $x^2+y^2-7y=0$ pasa a ser $r^2-7r\sin\varphi=0$, es decir, $r(r-7\sin\varphi)=0$. Descartando el polo $r=0$ queda $r=7\sin\varphi$, y el mismo cálculo en la segunda circunferencia da $r=9\sin\varphi$. Ambas pasan por el origen y tienen el centro sobre el eje $y$, de modo que en esta región el radio va de la menor a la mayor:

   $7\sin\varphi \le r \le 9\sin\varphi.$

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   Pasar las dos rectas a ángulos. En coordenadas polares, una recta que pasa por el origen es una única semirrecta $\varphi=\text{constante}$. La recta $x=0$ es el eje $y$, así que $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$. Para $y=\tfrac{x}{\sqrt3}$ se sustituyen las formas polares: $r\sin\varphi=\tfrac{r\cos\varphi}{\sqrt3}$, de donde $\tan\varphi=\tfrac{1}{\sqrt3}$ y $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$. Por tanto el ángulo recorre

   $\frac{\pi}{6}\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.$

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   Montar la integral de área. El elemento de área en coordenadas polares es $dS=r\,dr\,d\varphi$: el factor extra $r$ es el jacobiano y es justamente lo que más se olvida aquí. Con los límites hallados antes,

   $S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr\,d\varphi.$

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   Resolver la integral interior en $r$. Como el integrando es solo $r$, la integral interior es una diferencia de cuadrados, y por eso el factor $\sin^2\varphi$ sale limpiamente:

   $\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr=\frac{(9\sin\varphi)^2-(7\sin\varphi)^2}{2}=\frac{81-49}{2}\sin^2\varphi=16\sin^2\varphi.$

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   Integrar en $\varphi$ con la fórmula de reducción de potencia. $\sin^2\varphi$ no tiene una antiderivada inmediata, así que se reescribe como $\sin^2\varphi=\tfrac{1-\cos 2\varphi}{2}$:

   $S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}16\sin^2\varphi\,d\varphi=8\int_{\pi/6}^{\pi/2}(1-\cos 2\varphi)\,d\varphi=8\left[\varphi-\frac{\sin 2\varphi}{2}\right]_{\pi/6}^{\pi/2}.$

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   Evaluar en los límites. En $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$: $\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\sin\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}$. En $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$: $\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{1}{2}\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}$. Restando y multiplicando por $8$:

   $S=8\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{4}\right)=8\cdot\frac{\pi}{3}+2\sqrt3=\frac{8\pi}{3}+2\sqrt3\approx 11.84.$

   Una comprobación numérica de la misma integral da $11.8417$, así que la forma cerrada es correcta.