Halla la derivada parcial de ln(x² + y²) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Congela $y$ como constante. Ese es todo el sentido de una derivada parcial respecto de $x$: cada aparición de $y$ se comporta como un número fijo, así que $y^2$ se deriva y da $0$.

2. 2

   Aplica la regla de la cadena al logaritmo. Con $u=x^2+y^2$ y $\dfrac{d}{du}\ln u=\dfrac1u$:

   $\frac{\partial}{\partial x}\ln u=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$

   Olvidar la derivada interior y escribir solamente $\tfrac{1}{x^2+y^2}$ es el error habitual aquí.

3. 3

   Deriva el interior respecto de $x$.

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y^2\right)=2x+0=2x$

4. 4

   Junta las dos piezas.

   $\frac{\partial}{\partial x}\ln\left(x^2+y^2\right)=\frac{2x}{x^2+y^2}$

   Por la simetría de la expresión, la otra parcial es $\dfrac{\partial}{\partial y}=\dfrac{2y}{x^2+y^2}$: basta intercambiar los papeles de $x$ y de $y$.

5. 5

   Revisa que el resultado tenga sentido. En $y=0$ la función se reduce a $\ln x^2=2\ln|x|$, cuya derivada es $\tfrac{2}{x}$; la fórmula da $\tfrac{2x}{x^2}=\tfrac2x\;\checkmark$. La parcial también se anula a lo largo de todo el eje $y$, donde $x=0$, lo que concuerda con que $\ln\left(x^2+y^2\right)$ tenga allí un mínimo en $x$ para cualquier $y\ne 0$ fijo. La función no está definida en el origen, así que la derivada tampoco.