Para y = f(x) = x³, halla la tasa de variación media de y respecto a x cuando x pasa de 3 a 5.

Step-by-step solution

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   Escribe la definición. La tasa de variación media de $f$ en $[a,b]$ es $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$: la pendiente de la recta secante que pasa por $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$, no la derivada en un solo punto.

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   Evalúa en los extremos. $f(5)=5^3=125$ y $f(3)=3^3=27$.

3. 3

   Forma la variación de $y$. $\Delta y=125-27=98$.

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   Forma la variación de $x$. $\Delta x=5-3=2$.

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   Divide. $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{98}{2}=49$, así que en promedio $y$ crece $49$ unidades por cada unidad que aumenta $x$ en este intervalo.

6. 6

   Compara con las tasas instantáneas. Como $f'(x)=3x^2$, la pendiente vale $27$ en $x=3$ y $75$ en $x=5$; el promedio $49$ queda entre ambas, exactamente como exige el teorema del valor medio.