Resuelve la ecuación diferencial 3(1 + t²) dy/dt = 2ty(y³ − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta primero las soluciones de equilibrio. El lado derecho se anula cuando $y=0$ o $y^3=1$, y una $y$ constante tiene $\tfrac{dy}{dt}=0$, así que

   $y\equiv 0\qquad\text{y}\qquad y\equiv 1$

   son ambas soluciones de la ecuación. Encontrarlas de entrada importa, porque la sustitución de más abajo divide entre $y$.

2. 2

   Reconoce la forma de Bernoulli. Dividiendo entre $3(1+t^2)$ y desarrollando el lado derecho:

   $\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y=\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y^{4}$

   Es una ecuación de Bernoulli con exponente $n=4$, y el remedio estándar es $v=y^{1-n}=y^{-3}$.

3. 3

   Sustituye $v=y^{-3}$. Entonces $\dfrac{dv}{dt}=-3y^{-4}\dfrac{dy}{dt}$, y usando $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}$:

   $\frac{dv}{dt}=-3y^{-4}\cdot\frac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}=-\frac{2t\left(1-y^{-3}\right)}{1+t^2}$

   de modo que

   $\frac{dv}{dt}-\frac{2t}{1+t^2}\,v=-\frac{2t}{1+t^2}$

   Fíjate en el signo: el coeficiente de $v$ es negativo. Ponerlo positivo aquí es el descuido más frecuente en este ejercicio, y cambia por completo la respuesta final.

4. 4

   Halla el factor integrante. Con $P(t)=-\dfrac{2t}{1+t^2}$,

   $\mu(t)=\exp\!\left(\int P\,dt\right)=\exp\left(-\ln\left(1+t^2\right)\right)=\frac{1}{1+t^2}$

   Multiplicar toda la ecuación convierte el lado izquierdo en una sola derivada:

   $\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{1+t^2}\right)=-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}$

5. 5

   Integra ambos lados. El lado derecho es en sí mismo un cambio de variable ($u=1+t^2$):

   $\int-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}\,dt=\frac{1}{1+t^2}+C$

   así que $\dfrac{v}{1+t^2}=\dfrac{1}{1+t^2}+C$, es decir

   $v=1+C\left(1+t^2\right)$

6. 6

   Vuelve a $y$ y verifica. Como $v=y^{-3}$,

   $\frac{1}{y^{3}}=1+C\left(1+t^{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad y=\left[1+C\left(1+t^{2}\right)\right]^{-1/3}$

   Comprobando numéricamente con $C=0.7$ en $t=1.7$: el lado izquierdo $3(1+t^2)y'=-1.60448567$ y el lado derecho $2ty(y^3-1)=-1.60448567$. $\checkmark$ (con $C=0$ se recupera el equilibrio $y\equiv1$).