Halla las soluciones exponenciales de la ecuación diferencial con retardo f'(x) = f(x − 1).

Step-by-step solution

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   Fíjate en qué hace inusual a esta ecuación. La derivada en $x$ depende del valor de una unidad antes, así que se trata de una ecuación diferencial con retardo y no de una ordinaria. El ensayo exponencial sigue funcionando, pero la ecuación característica resultante no será polinómica.

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   Sustituye $f(x)=e^{rx}$. Entonces $f'(x)=re^{rx}$, mientras el término retardado adquiere un factor constante:

   $f(x-1)=e^{r(x-1)}=e^{-r}e^{rx}$

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   Cancela $e^{rx}$ para llegar a la ecuación característica.

   $re^{rx}=e^{-r}e^{rx}\quad\Longrightarrow\quad r=e^{-r}\quad\Longrightarrow\quad re^{r}=1$

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   Resuelve $re^r=1$ con la función W de Lambert. Por definición $W$ invierte $w\mapsto we^{w}$, así que

   $r=W(1)\approx 0.5671432904$

   Este número es la constante omega. No tiene forma cerrada elemental, algo característico de las ecuaciones con retardo.

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   Escribe las soluciones y observa que hay infinitas ramas. La solución exponencial real es

   $f(x)=Ce^{W(1)x}\approx Ce^{0.567143x}$

   y como $re^r=1$ tiene infinitas raíces complejas $r_k=W_k(1)$, la forma general es una superposición $f(x)=\sum_k C_ke^{W_k(1)x}$, con los pares conjugados combinados para que el resultado sea real.

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   Verifica la constante numéricamente. Con $r=0.5671432904$: $re^{r}=0.5671432904\times 1.763222834=1.000000000$ $\checkmark$, y equivalentemente $e^{-r}=0.567143=r$ $\checkmark$. Sustituyendo, $f'(x)=rCe^{rx}$ y $f(x-1)=Ce^{rx}e^{-r}=rCe^{rx}$, que coinciden exactamente.