Halla el límite cuando n tiende a infinito de (3n² − 4n + 9)/(n² + 32n + 48) menos la raíz cuadrada de (n² + n + 18).

Step-by-step solution

1. 1

   Separa la expresión y estudia cada parte por separado. Las dos piezas se comportan de maneras completamente distintas, así que aquí no hay ninguna indeterminación que resolver; el truco está en darse cuenta de eso pronto, en lugar de recurrir a L'Hôpital o al truco del conjugado.

2. 2

   Halla el límite del término racional. Divide el numerador y el denominador entre la potencia más alta $n^2$: $\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48} = \frac{3-\tfrac4n+\tfrac{9}{n^2}}{1+\tfrac{32}{n}+\tfrac{48}{n^2}} \longrightarrow \frac{3}{1} = 3.$ Que los grados de arriba y de abajo sean iguales significa que el límite es el cociente de los coeficientes principales.

3. 3

   Halla el comportamiento de la raíz cuadrada. Saca $n^2$ de debajo del radical: $\sqrt{n^2+n+18} = n\sqrt{1+\tfrac1n+\tfrac{18}{n^2}} \sim n \cdot 1 = n \to +\infty,$ usando $|n|=n$ ya que $n\to+\infty$. Más precisamente, vale $n+\tfrac12+O(1/n)$.

4. 4

   Combina los dos comportamientos. La expresión es (algo que tiende a $3$) menos (algo que tiende a $+\infty$). Una cantidad acotada menos una no acotada no está acotada inferiormente: $3-(+\infty) = -\infty.$ Esta es una forma determinada, no una indeterminación.

5. 5

   Confirma numéricamente. En $n=10^6$ el término racional vale $2.99990$ y la raíz vale $1{,}000{,}000.5000$, así que la diferencia ronda $-999{,}997.5$; ya sigue la marcha de $-n$, tal como se predijo.

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   Enuncia la conclusión. $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48}-\sqrt{n^2+n+18}\right) = -\infty,$ y asintóticamente la expresión se comporta como $-n+2.5$.